Prueba $(a^2+b^2)(c^2+d^2)\ge (ac+bd)^2$ para todos $a,b,c,d\in\mathbb{R}$ .

Question

Prueba $(a^2+b^2)(c^2+d^2)\ge (ac+bd)^2$ para todos $a,b,c,d\in\mathbb{R}$ .

Así que $(a^2+b^2)(c^2+d^2) = a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2$

y $(ac+bd)^2 = a^2c^2+2acbd+b^2d^2$

Así que el problema se reduce a demostrar que $a^2d^2+b^2c^2\ge2acbd$ pero no estoy seguro de cómo mostrar que

Answer 1

Por Identidad de Lagrange $$(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac+bd)^2\color{red}{+(ad-bc)^2}.$$

Answer 2

Sugerencia utilizan Cauchy-Schwarz en $\mathbb{R}^2$ sobre los vectores $(a,b)$ y $(c,d)$ . Esta técnica debe proporcionar una prueba de una línea del resultado deseado.

Más directamente, a partir de lo que ya has calculado, puedes observar que $$ a^2d^2 - 2abcd + b^2c^2 = (ad - bc)^2 \geq 0 \text{,} $$ así que $a^2d^2 + b^2c^2 \geq 2abcd$ .

Answer 3

Diofanto ya ha demostrado que $$(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})=(ac+bd)^{2}+(ad-bc)^{2}.$$ Esto demuestra la desigualdad.