Verificando $\int_0^{\pi}x\ln(\sin x)\,dx=-\ln(2){\pi}^2/2$

Question

Usé todo lo que sé para demostrar que $$\int_0^\pi x\ln(\sin x)dx=-\ln(2) \pi^2/2$$ Esta es mi tarea pero no sé por dónde empezar. Agradezco su ayuda.

Answer 1

Dejemos que $I = \int_0^\pi x \ln(\sin x) \mathrm{d} x$ . Entonces, cambiando las variables $x \to \pi -x$ : $$ I = \int_0^\pi \left(\pi -x \right) \ln( \sin x) \mathrm{d} x = \pi \int_0^\pi \ln(\sin x) \mathrm{d} x - I $$ Por lo tanto: $$ I = \frac{\pi}{2} \int_0^\pi \ln(\sin x)\mathrm{d} x \stackrel{\text{symmetry}}{=} \pi \int_0^{\pi/2} \ln(\sin x) \mathrm{d} x $$ Esta última integral se había resuelto en otro lugar .

Answer 2

Esta respuesta pretende ofrecer una alternativa desde la última integral del trabajo de Sasha

Por cambio de variable $x = 2u$ tenemos que $$I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln(\sin (x)) \ dx=$$ $$2\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \ln(\sin (2u)) \ du=$$ $$2\left(\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \ln (2) \ du + \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \ln(\sin (u)) \ du +\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \ln(\cos (u)) \ du \right)=$$ $$\frac{\pi}{2} \ln(2) + 2\left(\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \ln(\sin (u)) \ du+\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \ln(\cos (u)) \ du\right)$$ que puede reescribirse como

$$I=\frac{\pi}{2} \ln(2)+2I$$ así $$I=-\frac{\pi}{2} \ln(2)$$ Entonces el resultado final es $\displaystyle -\frac{\pi^2}{2} \ln(2).$

Answer 3

Por si sirve de algo, el caso general de lo que hizo Sasha es

Si $$I=\int_0^\pi xf(\sin x )dx$$

entonces

$$I=\frac \pi2\int_0^\pi f(\sin x )dx$$

y el argumento es completamente análogo.