Que $f \in C^1([0, \infty))$ y Supongamos que $\int_0^\infty t|f'(t)|^2\,dt < \infty$ y $\lim_{T \to \infty} T^{-1} \int_0^T f(t)\,dt = L$. ¿Tenemos que $f(t) \to L$ $t \to \infty$?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Sí. Supongamos que $L=0$. Entonces no podemos tener a $|f|\ge 1$ arbitrariamente grande, $t$ valores. Si lo hiciéramos, entonces podríamos encontrar distintos intervalos de $I_n$ tal que $f=1$ (o $=-1$, lo que es análogo, por supuesto) en algún lugar en cada una de las $I_n$, e $|f|\ge 1/2$ sobre todo $I_n$ $f=1/2$ a los extremos. (Nos encontramos arbitrariamente muchos de estos debido a $|f|$ no puede quedarse $\ge \delta$ siempre; tiene que moverse cercano a cero o a los valores de signo opuesto con el tiempo.)
A continuación, $\int_I |f'|\ge 1$ para cada intervalo. Por Cauchy-Schwarz $$ 1 \le \int_I |f'| \lesssim \left( \int_I t|f'|^2\int_I \frac{dt}{t} \right)^{1/2} . $$ Así que si escribimos $I=(a,b)$, $\log b/a\to \infty$ como tomamos los intervalos que se encuentran en mayor $t$ de los valores, pero esto es imposible: desde $I=(a,b)$ hace una contribución $\ge (b-a)/2$$\int f$$b/a \gg 1$, debemos tener la $\int_0^a f$ es negativo y $\gtrsim b$ en valor absoluto, para mantener el promedio de $[0,b]$ pequeños. Pero, a continuación, $(1/a)\int_0^a f \lesssim -b/a\ll -1$ no está cerca de cero.
