Mostrar $A$hermítica $\iff v^tA\overline{v}\in\Bbb R$ % todo $v \in \mathbb{C}^n$

Question

Muestran que un $A \in M(n \times n, \mathbb{C})$ de la matriz es hermítica iff $v^tA\overline{v} \in \mathbb{R}$ % todos $v \in \mathbb{C}^n$.

Answer 1

Sugerencia: creo que no necesita nada más que saber que $x=v^\intercal A\bar{v}$ es un escalar, donde $x^\intercal=x$. Un número $x$ es real si $\bar{x}=x$.

EDIT: Más a fondo, $A$ es hermítica iff $\overline{A^\intercal}=A$. Entonces $\overline{x}=\overline{x^\intercal}=\overline{\bar{v}^\intercal A^\intercal v}=v^\intercal\overline{A^\intercal}\bar{v}=v^\intercal A\bar{v}=x$. Por lo tanto es real $x$.

Por el contrario, si $\bar{x}=x$, entonces el $v^\intercal A\bar{v}=\bar{v}^\intercal A^\intercal v=v^\intercal \overline{A^\intercal}\bar{v}$, donde $\overline{A^\intercal}=A$ desde la relación sostiene para todas las $v$.

Answer 2

Revise este archivo, teorema 8.10. hermítica