Para enteros $a$ y $b$, $ab=\text{lcm}(a,b)\cdot\text{hcf}(a,b)$

Question

Estaba leyendo un libro de texto y me encontré con lo siguiente:

Resultados importantes
(Esto viene inmediatamente después de la LCM:)

Si 2% [enteros] $a$y $b$ son dados y su $LCM$ y $HCF$ están $L$ y $H$ respectivamente,
entonces $L \times H = a \times b$

¿Algunos por favor me pueden ayudar entender por qué el resultado anterior es verdadera?

Gracias de antemano.

Answer 1

A continuación es una prueba de que funciona en cualquier dominio, usando las definiciones universales de GCD, LCM.

Teorema de $\rm\quad (a,b)\ =\ ab/[a,b] \;\;$ $\;\rm\ [a,b] \;$ de existir.

Prueba: $\rm\qquad d\mid (a,b)\iff d\mid a,b \iff a,b\mid ab/d \iff [a,b]\mid ab/d \iff d\mid ab/[a,b] $

Answer 2

Que $p$ ser una privilegiada. Si ocurre de $p$ $a$ $m$ de la multiplicidad y multiplicidad $b$ $n$, entonces se producirá en el LCM de $a$ y $b$ $\mathrm{max(m,n)}$ de la multiplicidad y en su HCF con multiplicidad $\mathrm{min(m,n)}$.

Por lo tanto, en el producto de LCM y HCF la multiplicidad de $p$ es $$\mathrm{max}(m,n)+\mathrm{min}(m,n)=m+n,$ $, que es también la multiplicidad de $p$ $a\cdot b$. Puesto que esto sostiene para cada $p$, los dos productos deben ser iguales.

Answer 3

También puede averiguar esto sin utilizar cualquier uso de factorización única. Ya que dicen que esto viene inmediatamente después de la LCM, supongo que usted sabe que para $m\gt 0$, $[ma,mb]=m[a,b]$, donde $[a,b]=\mathrm{lcm}(a,b)$ $(ma,mb)=m(a,b)$ donde $\gcd(a,b)=(a,b)$.

Ahora supongamos $(a,b)=1$, y también asumen que son positivos, ya que si son negativos $[a,-b]=[a,b]$, de todos modos. Desde $[a,b]$ es un múltiplo de a $a$, vamos a $[a,b]=ma$. A continuación,$b\mid ma$, pero $(a,b)=1$, lo $b\mid m$. Si esto no ha de ser abordado sin embargo, observe $(ma,mb)=m(a,b)=m$, lo $b\mid ma$, e $b\mid mb$, lo $b\mid m$ desde cualquier divisor común de a $ma$ $mb$ divide el máximo común divisor $m$ en este caso.

Por lo $b\leq m$ como ambos son positivos, lo que implica $ba\leq ma$. Pero $ba$ es un múltiplo común de a$a$$b$, por lo que no puede ser estrictamente menor que $ma$, lo $ba=ma=[a,b]$.

Más generalmente, si $(a,b)=g\gt 1$, entonces usted tiene $(\frac{a}{g},\frac{b}{g})=1$. A continuación, por el especial caso anterior, $$ \left[\frac{a}{g},\frac{b}{g}\right]\left(\frac{a}{g},\frac{b}{g}\right)=\frac{a}{g}\frac{b}{g}. $$ Multiplicar por $g^2$, usted tiene $$ \begin{align*} g^2\left[\frac{a}{g},\frac{b}{g}\right]\left(\frac{a}{g},\frac{b}{g}\right) &= g\left[\frac{a}{g},\frac{b}{g}\right]g\left(\frac{a}{g},\frac{b}{g}\right)\\ &= [a,b](a,b)\\ &= g^2\frac{a}{g}\frac{b}{g}=ab \end{align*} $$ por lo $[a,b](a,b)=|ab|$.