Tenemos funciones $f_n\in L^1$ tal que $\int f_ng$ tiene un límite para cada $g\in L^\infty$ . ¿Existe una función $f\in L^1$ tal que el límite es igual a $\int fg$ ? Creo que esto no es cierto en general (¿en serio? - ¿por qué?), entonces puede ser cierto si también sabemos que $f_n$ pertenecen a un determinado subespacio de $L^1$ ?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Otra forma de formular su pregunta: ¿Es $L^{1}$ débilmente secuencialmente completa ? Es decir: ¿toda secuencia débil de Cauchy en $L^1$ ¿converger?
La respuesta es sí .
(Añadido: Ver la respuesta de Nate para una definición de secuencia débil de Cauchy y por qué esta "plenitud" de $L^1$ puede considerarse sorprendente).
Este es un esquema del argumento (estoy asumiendo que estás trabajando en un $\sigma$ -espacio de medida finita $(\Omega, \Sigma, \mu)$ pero no es una restricción esencial, véase el final de esta respuesta):
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En primer lugar, se deduce del teorema de la acotación uniforme que la secuencia $(f_{n})$ está acotado en $L^{1}$ .
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A continuación, podemos definir para un conjunto medible $E$ una cantidad $$\nu(E) = \lim_{n \to \infty} \int_{E} f_{n}$$ porque la función característica de $E$ pertenece a $L^{\infty}$ .
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Entonces se puede comprobar que $\nu$ es un (firmado) medir que es absolutamente continua con respecto a $\mu$ . Por el teorema de Radon-Nikodym se deduce que $\nu(E) = \int_{E} f\,d\mu$ para una función única (clase) $f \in L^{1}$ .
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Ahora, por definición, tenemos $\displaystyle \int f g = \lim_{n \to \infty} \int f_{n} g$ para todos funciones características $g$ . Pero como las funciones características abarcan un subespacio denso de $L^{\infty}$ concluimos que esto debe ser así para todos los $g \in L^{\infty}$ .
Puede encontrar los detalles de este argumento, por ejemplo, en Dunford-Schwartz, Operadores lineales I , Teorema IV.8.6 en la página 290. La suposición sobre $\sigma$ -la finitud que hice se elimina fácilmente, como también se explica allí: La cuestión es que la unión de los soportes del $f_n$ es $\sigma$ -finito, por lo que podemos suponer que trabajamos en un $\sigma$ -espacio infinito en primer lugar.
Reto Meier
Puntos
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¿Por qué no utilizar la prueba de Kolmogorov-Smirnov? Eso es lo que yo haría, sobre todo teniendo en cuenta que el tamaño de la muestra es lo suficientemente grande como para compensar la falta de potencia.
Otra posibilidad es hacer una simulación. No es riguroso, pero proporciona algunas pruebas sobre si los datos están distribuidos uniformemente.
@whuber La extensión bidimensional del KS es bien conocida (ver aquí ). En este caso, estamos investigando si estas 1000 extracciones (coordenadas (x,y)) podrían extraerse de la distribución uniforme conjunta de 2 dimensiones, al menos así es como yo leo "uniformemente repartidas". @John Puede que me haya expresado con torpeza (ni las matemáticas ni el inglés son mis primeros idiomas). Lo que quería decir es que el valor p exacto se puede calcular utilizando una prueba como la KS, mientras que el valor p (o como se llame el equivalente) sólo tiende asintóticamente al hacer simulaciones.
