Expresando $\sin^4x-\sin^6x$ de otra manera

Question

Estoy un poco confundido sobre cómo se restaría $\sin^4x-\sin^6x$ .

Sé que $\sin^2x=(1/2)(1-\cos2x)$ ,

así que $\sin^4x$ sería lógicamente $[(1/2)(1-\cos2x)]^2=(1/4)(1-2\cos(2x)+\cos^2(2x)$

Sin embargo, el valor de $\sin^6x$ se me escapa. ¿Será $(1-\cos2x)^3$ ? Lo hice y obtuve $1-\cos2x-2\cos2x-2\cos^2(2x)+\cos^2(2x)-\cos^3(2x)$

No estoy seguro de que eso sea correcto.

Answer 1

Hay varias formas de transformar $\sin^4 x-\sin^6 x$ a alguna forma equivalente. Por ejemplo, $\sin^4 x-\sin^6 x=\sin^4 x(1-\sin^2 x)=\sin^4 x\,\cos^2 x$ .

Si te interesa expresar la diferencia como una suma de funciones trigonométricas de múltiplos de $x$ Esto proporcionará un comienzo eficiente. Para entonces se puede utilizar $\sin^2 x=\frac{1-\cos 2x}{2}$ y $(\sin x\cos x)^2=\frac{(\sin 2x)^2}{4}$ .

Answer 2

En lugar de enredar con las identidades trigonométricas, puede ser más sencillo utilizar exponenciales complejos. Si $z = e^{ix} = \cos(x) + i \sin(x)$ Así que $\sin(x) = (z - z^{-1})/(2i)$ y $\cos(x) = (z + z^{-1})/2$ , $$\eqalign{\sin^4 x - \sin^6 x &= \frac{(z - z^{-1})^4}{16} + \frac{(z - z^{-1})^6}{64}\cr &= \frac{z^4 - 4 z^2 + 6 - 4 z^{-2} + z^{-4}}{16} \\ &\qquad+\frac{z^6 - 6 z^4 + 15 z^2 - 20 + 15 z^{-2} - 6 z^{-4} + z^{-6}}{64}\cr &= \frac{z^6 + z^{-6}}{64} - \frac{z^4 + z^{-4}}{32} - \frac{z^2 + z^{-2}}{64} + \frac{1}{16}\cr &= \frac{\cos(6x)}{32} - \frac{\cos(4x)}{16} - \frac{\cos(2x)}{32} + \frac{1}{16}\cr}$$

Answer 3

Me he dado cuenta de que las otras respuestas o bien no responden a tu pregunta (y sin embargo reciben muchos upvotes) o son mucho más complicadas de lo necesario (incluso más complicadas de lo que tú entiendes según el comentario de Raymond). Así que, aquí está la respuesta a su pregunta real.

Has dejado caer la 1/2.

$$\sin^6 x = (\sin^2 x)^3 = \left(\frac{1 - \cos{2x}}{2}\right)^3 = \frac{1}{8} (1 - \cos{2x})^3$$

por lo que terminas perdiendo $1/8$ al final. Además, te has equivocado en el signo de un término. En general

$$(A + B)^3 = A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3$$

así que aquí tenemos

\begin{align*} (1 - \cos(2x))^3 &= \bigg(1 + (-\cos(2x))\bigg)^3 \\ &= 1 + 3(-\cos(2x)) + 3(-\cos(2x))^2 + (-\cos(2x))^3 \\ &= 1 - 3\cos(2x) + 3\cos^2(2x) - \cos^3(2x). \end{align*}

Por lo tanto, su respuesta final es

\begin{align*} \sin^4x - \sin^6x &= \frac{1}{4}\bigg(1 - 2\cos(2x) + \cos^2(2x)\bigg) \\ &- \frac{1}{8}\bigg(1 - 3\cos(2x) + 3\cos^2(2x) - \cos^3(2x)\bigg) \\ &= \frac{1}{8}\bigg(1 - \cos(2x) - \cos^2(2x) + \cos^3(2x)\bigg) \end{align*}

Answer 4

$\sin^4x-\sin^6x=\sin^4x(1-\sin^2x)=\sin^4x \cos^2x=\sin^2x(\sin^2x \cos^2x)$ $$=\frac{\sin^2 x\,\sin^2 2x}{4}=\left(\frac{\sin x \sin 2x}{2}\right)^2=\left(\frac{\cos x-\cos3x}{4}\right)^2$$