Una pregunta sobre el subconjunto compacto

Question

Este es un ejercicio de un libro de topología.

Dejemos que $X$ es Hausdorff y $K$ es un subconjunto compacto de $X$ . $\{U_i:i=1,2,...,k\}$ es el conjunto abierto de $X$ que cubre $K$ . Cómo demostrar que existen subconjuntos compactos de $X$ : $\{K_i:i=1,2,...,k\}$ tal que $K=\cup^k_{i=1}K_i$ y para cualquier $i\le k$ , $K_i \subset U_i$ ?

Lo que he intentado: Trato de dejar que $K_i = K\cap U_i$ entonces es obvio que $K=\cup^k_{i=1}K_i$ Sin embargo, no estoy seguro de que tal $K_i$ sigue siendo compacto en $X$ . No sé cómo seguir.

¿Puede alguien ayudarme? Gracias por adelantado:)

Answer 1

Si $x \in U_i$ ya que $K \backslash U_i$ es compacto podemos tomar vecindades abiertas disjuntas $V$ y $W$ de $x$ y $K \backslash U_i$ respectivamente. Entonces el cierre de $V$ está contenida en $U_i$ . Y así cada $x \in K$ tiene un barrio abierto $V_x$ cuyo cierre está contenido en algún $U_i$ . Estos forman una cubierta abierta de $K$ por lo que podemos tomar una subcubierta finita $V_1, \ldots, V_m$ . Dejemos que $K_i$ sea la unión de los cierres de los $V_j$ cuyos cierres están contenidos en $U_i$ .