Yo soy poco de lectura Xiao-Gang Wen del papel (http://dao.mit.edu/~wen/pub/edgere.pdf) en el borde de la excitación para las fracciones de efecto hall cuántico. En la página 25, afirmó que es fácil mostrar que existe una bijective la correspondencia entre un polinomio simétrico y el borde de la excitación de la hall cuántico fraccionario de la gota. Como es de todos conocido que Laughlin estado es un cero de energía eigenstate para Haldane pseudopotential. Y es fácil ver que si un polinomio simétrico veces el Laughlin de la función de onda, luego de que aumenta la relativa momento angular de las partículas, por lo que la función de onda es todavía un cero de energía eigenstate para Haldane pseudopotential. Sin embargo, Wen afirmó que el contrario también se aplica, pero no estoy muy convencido por su argumento en su papel. ¿Alguien sabe cómo rigurosamente muestran que el contrario también es cierto, que es cada cero de energía eigenstate es de la forma de un polinomio simétrico veces el Laughlin de la función de onda?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Mira como me tiene que contestar esta pregunta :-)
Permítanme en primer lugar responder a la pregunta de matemática: Cada cero de energía eigenstate es de la forma de un polinomio simétrico veces el Laughlin de la función de onda.
Para ser concreto, consideremos una $N$ bosón de sistema, con el delta-potencial la interacción $V=g\sum \delta(z_i-z_j)$ donde $z_i$ es un número complejo describir la posición de la $i^{th}$ bosón. El estado de energía cero $\Psi(z_1,...,z_N)$ satisface $\Psi(z_1,...,z_N)=P(z_1,...,z_N)exp(-\sum_i |z_i|^2/4)$ donde $P$ es un polinomio simétrico que satisfacer $\int \prod_i d^2 z_i \ \Psi(z_1,...,z_N)^\dagger V \Psi(z_1,...,z_N) =0$.
Ahora está claro que todo el estado de energía cero está dada por el polinomio simétrico que satisfacer $P(z_1,...,z_N)=0$ si cualquier par de bosones coinciden $z_i=z_j$. Para simétrica polinomio esto implica que $P(z_1,...,z_N) \sim (z_i-z_j)^2$ al $z_i$ es cerca de $z_j$. El Laughline de la función de onda $P_0=\prod_{i<j}(z_i-z_j)^2$ es uno de los simétrica polinomios que satisfacen la condición anterior, y es un estado de energía cero. Desde cualquier otro cero de energía simétrica polinomio debe satisfacer $P(z_1,...,z_N) \sim (z_i-z_j)^2$, $P/P_0=P_{sym}$ no tiene polos y está bien definida y simétrica polinomio. Así que cada cero de energía eigenstate $P$ es de la forma de un polinomio simétrico $P_{sym}$ veces el Laughlin de la función de onda $P_0$. Los debates pueden ser encontrados en la primera parte de arXiv:1203.3268.
Sin embargo, un lugar físicamente más relevantes de matemáticas pregunta es: Cada energía eigenstate por debajo de una cierta energía finita brecha $\Delta$ es de la forma de un polinomio simétrico veces el Laughlin de la función de onda para cualquier número de $N$ de las partículas. (Aquí se $\Delta$ no depende de $N$.)
Sólo tenemos numérico evidencias de que la declaración es verdadera, pero ninguna prueba.
