Factorización de funciones de L

Question

Estoy tratando de descifrar Lang, la Teoría Algebraica de números cuando se trata de L-funciones. Deje $K/\mathbb{Q}$ ser un abelian extensión. Entonces se supone que vamos a tener una factorización

$$\zeta_K(s)=\zeta_\mathbb{Q}(s)\prod_{\chi\neq 1} L(s,\chi)$$

Estoy tratando de entender esto de la factorización en términos más concretos. Primero de todo Lang da la definición de $\chi$ como un grupo de ideles. Me preguntaba si hay una simple y más concretas computable definición en términos de ray clases?

Digamos que tomar algún ejemplo sencillo como $\mathbb{Q}(\sqrt{-3})$. En qué grupo son estos $\chi$ define y cómo puedo calcular? ¿Hay algún algoritmo que funciona en general? Entiendo que esto tiene algo que ver con el conductor, que iba a ser $(3)p_\infty$ en el caso anterior.

Answer 1

Completamente explícitamente, vamos a $G$ ser el grupo de Galois de la extensión de $K/\mathbb{Q}$. Por lo $G$ es el cociente de la absoluta grupo de Galois $G_{\mathbb{Q}}$$\mathbb{Q}$. A continuación, el producto se ejecuta sobre la no-trivial irreductible complejo de representaciones de Galois absoluto grupo de $\mathbb{Q}$ que factor a través de $G$, es decir, sobre los no-trivial personajes de $G$, el pensamiento de los personajes de $G_{\mathbb{Q}}$. La función zeta de $\mathbb{Q}$ corresponde al carácter trivial. Así, en el ejemplo $K=\mathbb{Q}(\sqrt{3})$ el producto sólo se compone de un término, correspondiente a la no-trivial carácter de $G\cong\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$, el llamado cuadrática carácter conectado a $K$.

Esto funciona en mucho mayor generalidad: para cualquier campo base, en lugar de $\mathbb{Q}$ y arbitrarias de grupos de Galois, no necesariamente abelian. El Dirichlet $L$-funciones son reemplazadas por Artin $L$-funciones.

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Editar:

Aquí está una explicación de por qué el personaje es lo que yo reclamo es: en primer lugar, incrustar $K$ en un cyclotomic campo. En el ejemplo particular $K=\mathbb{Q}(\sqrt{3})$,$K\subset F=\mathbb{Q}(\mu_{12})$. El grupo de Galois de $F/\mathbb{Q}$ es isomorfo a $(\mathbb{Z}/12\mathbb{Z})^\times\cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$. Una vez que arreglar un primitivo 12-ésima raíz de la unidad $\zeta$, el isomorfismo es dado por $\sigma\mapsto a$ donde $\sigma(\zeta) = \zeta^a$. Usted puede escribir explícitamente hacia abajo de los 4 caracteres de Dirichlet de $(\mathbb{Z}/12\mathbb{Z})^\times$ y esto se lo dejo a usted. Ahora, se debe identificar el subgrupo de $(\mathbb{Z}/12\mathbb{Z})^\times$ que corresponde al campo $K$ (aviso que $F$ tiene tres cuadrática subcampos: $\mathbb{Q}(\sqrt{\pm3})$$\mathbb{Q}(\sqrt{-1})$) y usted encontrará que de los tres no-trivial de Dirichlet caracteres que acaba de escribir, exactamente un factor que a través de este subgrupo. Ese es el carácter que está buscando. No hay un campo de clase de teoría viene a este, realmente, no hay nada más allá de Kronecker-Weber.

Answer 2

En mi opinión, el ejemplo concreto de esta factorización es para los enteros Gaussianos. En este caso tenemos que $$\chi(n) = \begin{cases} 1 \;\;\;\;\;\; \text{if } n \equiv 1 \mod{4} \\ -1 \;\;\;\; \text{if } n \equiv 3 \mod{4}\\ 0 \; \; \; \; \; \text{otherwise} \end{casos} $ es el % de carácter de Dirichlet $\chi$de $\mathbb{Z}[i]$ $L(s,\chi)$ es el Dirichlet L-función evaluada en $\chi$ y $\zeta_{\mathbb{Q}(i)}(s)$ es la función zeta de Dedekind sobre los enteros Gaussianos. $$\zeta_{\mathbb{Q}(i)}(s) = \zeta(s)L(s,\chi)$ $ Es la factorización de la función zeta de Dedekind como un producto de la función zeta de Riemann y Dirichlet L-función $\mathbb{Z}[i]$.