¿Es ésta una expresión justificada para la integral de la función suelo?

Question

Mathematica parece estar de acuerdo conmigo en general al decir que $\displaystyle\int \lfloor x \rfloor dx = \frac{\lfloor x\rfloor (\lfloor x\rfloor-1)}{2}+\lfloor x\rfloor \{ x \}+C = \frac{\lfloor x\rfloor(2 x-\lfloor x\rfloor-1)}{2}+C$ es decir, dejar que $I(x) = \frac{\lfloor x\rfloor(2 x-\lfloor x\rfloor-1)}{2}$ y comprobar si $\displaystyle\int_a^b \lfloor x \rfloor dx = I(b)-I(a)$ devuelve verdadero para todos los recuentos, incluidos los decimales.

¿Qué es exactamente lo que impide que esto sea cierto en general? ¿La razón por la que no hay integral indefinida es la discontinuidad en la función suelo, aunque Mathematica define la integral definida a lo largo de cualquier intervalo?

Answer 1

La función suelo es una función constante a trozos con un número finito de discontinuidades, por lo que es integrable (Riemann) en cualquier intervalo $[0,x]$ . Integrales indefinidas $\int f(x)dx$ pueden considerarse clases equivalentes representadas por $\displaystyle \int_0^x f(t)dt$ . Así que la función suelo tiene una integral indefinida, que puede calcularse sumando el área de unos cuantos rectángulos: \begin{eqnarray} \int \lfloor x \rfloor dx &=& \int_0^x \lfloor t \rfloor dt +C\\ &=& 1+2+\cdots+(\lfloor x \rfloor-1)+ \{x\}\lfloor x\rfloor+C \\ &=&\frac{\lfloor x\rfloor (\lfloor x\rfloor-1)}{2}+\lfloor x\rfloor \{ x \}+C. \end{eqnarray}

Answer 2

¿Crees que tu fórmula es verdadera en general sobre los números complejos? Eso es lo que suele pensar Mathematica.

Answer 3

El término correcto se escribe mejor como $x[x]$ Para que lo sepas. En cuanto al término de la izquierda, está ligeramente desviado. La función de mayor número entero actúa casi por completo como una constante durante el cálculo. Sin embargo, durante la integración, aparece aleatoriamente una serie que representa los saltos creados por la integral regular que la utiliza como constante. Para $x[x]$ la serie es la suma repetida de todos los enteros de $0$ a $[x]$ . La serie (en este caso) se reducirá a $\frac {n(n+1)}{2}$ . Mathematica está ligeramente equivocado o su interpretación es incorrecta. La integral se reduce a:

$$ x[x] - \frac {[x]([x]+1)}{2} $$

Mi única conclusión es que tienes la fórmula de integración ligeramente equivocada.