Densidad de primos entre las potencias primitivas

Question

¿Cuál es la densidad relativa de los números primos entre un conjunto de primer poderes? En particular, vamos a $\Pi(x)$ el número de primer poderes menos de $x$ y deje $\pi(x)$ el número de números primos menos de $x$. ¿Qué se puede decir de el límite

$$\lim_{x \to \infty} \frac{\pi(x)}{\Pi(x)}?$$

En otras palabras, ¿cuál es la densidad de primer poderes que son cuadrados? Mi intuición me dice que la respuesta debe ser $1$, pero no estoy seguro. - en $\mathbb{Z}$, la plaza libre de enteros constituyen sólo el $\frac{6}{\pi^2}$. Por otro lado, en $\mathbb{F}_q[x]$, la plaza libre de polinomios de grado $n$$1 + o_n(1)$.

Answer 1

El argumento a continuación no es elegante, pero funciona.

El número de potencias perfectas por debajo de$x$ es fácilmente limitado por$ \sum_{n = 2}^{\log_2 x} \lfloor x^{1/n} \rfloor \le x^{1/2} \log x$.

Por otro lado el número de primos debajo de$x$ es alrededor de$x/\log x$.

Bounding el número de poderes primos (incluyendo primos) por el número de primos más el número de poderes perfectos, la demanda sigue.

Answer 2

Podemos observar que si$p^{n}\leq x$ entonces$p\leq x^{1/n}$ podemos escribir $$ \ Pi \ left (x \ right) = \ pi \ left (x \ right) 1/2} \ derecha) \ dots \ pi \ left (x ^ {1 / n} \ derecha)$$ hence $$\Pi\left(x\right)=\pi\left(x\right)+O\left(\frac{\sqrt{x}}{\log\left(x\right)}\right).$ $