Análisis Funcional de Reed y Simon, capítulo 3 ejercicio 15

Question

Sea $H$ un espacio de Hilbert con una base ortonormal $\{ x_n \}_{n=1}^\infty$ y sea $\{ y_n \}_{n=1}^\infty$ una secuencia de elementos en $H$. Mostrar que las siguientes dos afirmaciones son equivalentes: $$ \forall x \in H , \ \left< x, y_n \right> \to 0, \ n \to \infty $$ $$ \forall m \in \mathbb{N}, \left< x_m, y_n \right> \to 0, \ n \to \infty \text{ y } \{ || y_n ||_H\}_{n=1}^\infty \text{ está acotada}$$ Si asumimos la primera afirmación entonces claramente $x_m \in H$, por lo que se muestra la primera parte de la segunda afirmación. Para la segunda parte de la segunda afirmación, definimos una familia de operadores de la forma $$ T_n (x) = \left< x, y_n \right>$$ Claramente la aplicación es lineal, y por la desigualdad de Cauchy-Schwarz $$ |T_n (x)| \leq || x ||_H || y_n||_H$$ Así que el operador está acotado y la norma del operador es $$ || T_n ||= || y_n ||_H $$ Aplicando el principio de la acotación uniforme a esta familia de operadores encontramos que $$ \exists M > 0, \ \forall n \in \mathbb{N}, \ || T_n || \leq M$$ Ya que la norma del operador coincide con la norma de cada $y_n$ podemos concluir que la secuencia está acotada por $M$.

Supongamos la segunda afirmación. Fijemos $x \in H$ y un cálculo muestra $$ \left< x, y_n \right> = \sum_{m=1}^\infty \left< x_m, x \right> \left< x_m, y_n \right>$$ Ahora me gustaría "pasar al límite" dentro de la suma pero no estoy seguro de cómo hacerlo. También podemos escribir $y_n$ en la forma $$y_n = \sum_{m=1}^\infty \left< x_m, y_n \right> x _m$$ De nuevo "pasar al límite" en la suma me daría que $y_n$ converge a $0$ pero no puedo hacer ninguna afirmación rigurosa al respecto.

Edición: Aquí hay una idea anterior que intenté implementar. Tenemos $$| \left< x, y_n \right> | \leq \sum_{m=1}^\infty | \left< x_m, x \right> | |\left< x_m, y_n \right> | $$ La serie a la derecha converge, por lo que su extremo caudal convergerá a $0$. En particular, para $\varepsilon > 0$ existe $M > 0$ tal que $$ \sum_{m=1}^\infty | \left< x_m, x \right> | |\left< x_m, y_n \right> | \leq \sum_{m=1}^{M - 1} | \left< x_m, x \right> | |\left< x_m, y_n \right> | + \frac{\varepsilon}{2} $$ Ahora, por la primera hipótesis, para $m \in \{1,...,M-1 \}$ existe $n_m \in \mathbb{N}$ tal que para $n \geq n_m$ tenemos $$ |\left< x_m, y_n \right>| \leq \frac{1}{|\left< x_m, x \right>| + 1} \frac{\varepsilon}{2(M - 1)}$$ Si elegimos $N = \max \{ n_m : m \in \{ 1,..., M - 1 \}\}$ entonces para $n \geq N$ después de un cálculo simple tenemos $$ | \left< x, y_n \right> | \leq \varepsilon$$ Dudaba en publicar esta idea ya que no utilicé en ningún lugar la acotación de la secuencia $y_n$.

Answer 1

Tienes convergencia puntual de cada término por la primera condición. Por la segunda condición, hay una secuencia que converge a cero y que mayoriza los términos para cualquier $ n $. Esto te permite dividir la suma y mostrar que ambas partes están cerca de cero.

EDICIÓN: Es un poco más complicado de lo que tienes ahora y de lo que esbocé anteriormente. En particular, debes tener cuidado con la elección del punto de división $M$.

Primero se nos da $\epsilon>0$. Luego elegimos $M$ de tal manera que $$ \sum_{j=M+1}^\infty \langle x_m,x\rangle^2<\epsilon. $$ (Esto es posible porque la secuencia de los coeficientes al cuadrado es sumable, de hecho la suma es igual a la norma al cuadrado de $x$) Ahora hacemos lo que hiciste para los primeros $M$ términos y acotamos el resto mediante Cauchy-Schwarz: $$ \left(\sum_{j=M+1}^\infty \langle x_m,x\rangle\langle x_m,y_n\rangle\right)^2 \leq \sum_{j=M+1} \langle x_m,x\rangle^2\sum_{m=M+1}\langle x_m,y_n\rangle^2\\ \leq \epsilon \|y_n\|^2 $$ (Observa que la cota en el segundo factor proviene nuevamente del hecho de que la suma de los coeficientes al cuadrado es igual a la norma al cuadrado). Ahora puedes concluir porque $\|y_n\|$ está acotada.