$G$ Es Topológico$\implies$$\pi_1(G,e)$ es Abeliano

Question

Hipótesis: Vamos a $G$ ser un grupo topológico con elemento de identidad $e$. Deje $\mu$ denotar la multiplicación de la cartografía en $G$.

Objetivo: Mostrar que el $\pi_1(G,e) = \pi(G)$ es un grupo abelian a través de la pista de abajo.

Sugerencia: Hay dos productos en $\pi(G)$. El producto habitual de $\circ$ definido para el grupo fundamental y el producto $\ast$ inducida por

$$ \ast: \pi(G) \times \pi(G) \cong \pi(G \times G) \desbordado{\pi(\mu)}{\rightarrow} \pi(G). $$

Demostrar que existe un común dos caras de la unidad, $u \in \pi(G)$ para ambos productos y hay una ley distributiva

$$ (f \ast g) \circ (a \ast b) = (f \circ a) \ast (g \circ b) $$

Intento:

1. Supongamos que la ley distributiva en la sugerencia sostiene. Supongamos, además, que $1$ -- el elemento de identidad en $\pi(G)$ con respecto al $\circ$ - sirve también como elemento de identidad en $\pi(G)$ con respecto al $\ast$.

2. A continuación, para $a,b \in \pi(G)$, tendríamos la siguiente relación:

   $$ (1 \ast a) \circ (b \ast 1) = (1 \circ b) \ast (a \circ 1) $$

   así que

   $$ un \circ b = b \ast un $$

3. Entonces si se puede demostrar que para todos los $f,g \in \pi(G)$ que $f \ast g \iff f \circ g$, podríamos completar la anterior relación para

   $$ un \circ b = b \ast a = b \circ una $$

   de modo que $\pi(G)$ es abelian como se desee.

Pregunta: Estoy en el camino correcto?

Answer 1

O una prueba de una sola línea: "el functor de grupo fundamental conserva productos, por lo que envía objetos de grupo a objetos de grupo". Tenga en cuenta que los objetos de grupo en${\bf Top}$ son precisamente los grupos topológicos, y los objetos de grupo en${\bf Grp}$ corresponden a grupos abelianos.

Answer 2

Uno puede sacar más provecho de esta situación,que especialmente útil si el grupo topológico $G$ no está conectado. Para obtener más detalles, consulte este documento.

Deje $\tilde{G}$ el conjunto de homotopy clases rel puntos finales de las rutas en las $G$, el cual comenzará a $e$. La estructura del grupo de $G$ induce una estructura de grupo en $\tilde{G}$. El último punto del mapa que define a $t: \tilde{G} \to G$, que en las condiciones locales es la universalización de la cobertura de $G$$e$. Este morfismos también puede ser dada la estructura de la cruzó módulo, mediante la conjugación de la operación de $G$$\tilde{G}$.

Recordemos que un cruzado módulo de $\mu: M \to P$ es una de morfismos de grupos junto con una acción de $P$ $M$ escrito $(m,p) \mapsto m^p$ con las propiedades

1. $\mu(m^p)= p^{-1}\mu(m) p$;

2. $m^{-1}nm=n^{\mu m}$

para todos los $m,n \in M, p \in P$. Tal cruzado módulo determina un $k$-invariante $k \in H^3(Cok\; \mu, Ker\; \mu)$.

Para el contenedor proveniente del módulo de un grupo topológico como en el anterior, el $k$-invariante es trivial si y sólo si el grupo topológico $G$ tiene una cobertura universal de todos los componentes que la totalidad puede ser dada la estructura topológica del grupo con el que cubren un mapa de morfismos de grupos topológicos.