Probar que la raíz real de$x^3 + x + 1$ es irracional

Question

Usando wolframalpha.com obtenemos que la raíz real de este polinomio es$-0.68233$

La única manera que he encontrado para probarlo es usando el teorema de la raíz racional.

Utilizando ese teorema, las raíces racionales posibles son 1 y -1, pero ninguna de ellas funciona.

Entonces la raíz verdadera tiene que ser irracional.

Mis preguntas son:

1. ¿Hay otra manera de demostrarlo sin usar el teorema racional de raíz?

2. ¿Está bien escrita mi prueba?

Answer 1

Aquí hay una prueba fácil. Supongamos que tiene una raíz racional, digamos$a/b$ y$\gcd (a,b)=1$. Luego poniendo$x=a/b$, obtenemos$$a^3+ab^2+b^3=0.$$ Note that $ |% 1$ or $ $, since $P \ mediados a$ are not roots. Let $ | a |> 1)$ be a prime such that $ p \ mid a ^ 3$ (assume $ p \ ^ 3 ab ^ 2$. Then $ b ^ 3 = - (a ^ 3 ab ^ 2)$ and $ p \ % P \ mid \ gcd (a, b) $, que es una contradicción.

Answer 2

Si fuera racional sería $m/n$ donde $m$ $n$ son enteros. A continuación, se habría $$ \left(\frac m n \right)^3 + \frac m n + 1 =0. $$ Desde que llegamos $$ m^3 + mn^2 + n^3 = 0. $$ Si la fracción $m/n$ es en términos mínimos, a continuación, $m$ $n$ no tienen factores primos comunes. Pero $$ n^3 = -m(m^2+n^2) = (-m\cdot\text{algo}) $$ por lo $n^3$ es divisible por los factores primos de a $m$. Esto sólo puede suceder si $m$ no tiene factores primos, es decir,$m=\pm1$. De la misma manera, tenemos $$ m^3 = - n^2(m+n) = (n^2\cdot\text{algo}), $$ y por lo $n=\pm1$. Pero $1$ $-1$ no son raíces de la ecuación.

Answer 3

Primera Pregunta

Por otro enfoque, sin el uso de la Raíz Racional es el Teorema para resolver el cúbicos.

Las raíces de una ecuación cúbica de la forma $x^3+px+q=0$ está dado por,

$\sqrt[3]{-\dfrac{q}{2}+\sqrt{\dfrac{q^2}{4}+\dfrac{p^3}{27}}}+\sqrt[3]{-\dfrac{q}{2}-\sqrt{\dfrac{q^2}{4}+\dfrac{p^3}{27}}}\tag{1}$$ \omega\left(\sqrt[3]{-\dfrac{q}{2}+\sqrt{\dfrac{q^2}{4}+\dfrac{p^3}{27}}}\right)+\omega^2\left(\sqrt[3]{-\dfrac{q}{2}-\sqrt{\dfrac{q^2}{4}+\dfrac{p^3}{27}}}\right)\tag{2}$$\omega^2\left(\sqrt[3]{-\dfrac{q}{2}+\sqrt{\dfrac{q^2}{4}+\dfrac{p^3}{27}}}\right)+\omega\left(\sqrt[3]{-\dfrac{q}{2}-\sqrt{\dfrac{q^2}{4}+\dfrac{p^3}{27}}}\right)\tag{3}$

Lo que queda es la resolución de la cúbico $x^3+x+1=0$ utilizando las fórmulas de arriba y encontrar que entre ellos es real. Eso se lo dejo a usted.

Segunda Pregunta

$$x=\dfrac{a}{b}(\gcd(a,b)=1)\implies \left(x^3+x+1=0\implies a^3+ab^2+b^3=0\right)$$

$$a^3+ab^2+b^3=0\implies a^3=-b^2(a+b)\implies a\mid b\implies |a|=1$$

Tenga en cuenta que en el argumento que no puede reclamar a $a\mid b$ que hemos llegado a nuestro deseado contradicción, porque, como usted ha señalado en su argumento todavía hay una posibilidad de $|a|=1$ que tienes que refutar. Para ser precisos $a\mid b$ contradiría $\gcd(a,b)=1$ fib $|a|\ne 1$. Usted tiene que demostrar que el reclamo de la proposición no se mantiene incluso cuando se $|a|=1$.

Unas palabras sobre su "prueba"

Lo que he descrito como la prueba no es realmente una prueba. Puede decirse que es un esbozo de la prueba. Por ejemplo, usted dijo que,

...El uso que el teorema de las posibles raíces racionales son $1$$-1$, pero ninguna de ellas funciona.

No es ilógico pedir,

Cómo funciona exactamente el teorema permite a la conclusión de que la única posibilidad racional de las raíces se $1$$-1$?

Para responder a esto, usted tiene que demostrar su conclusión. Para ser precisos, lo que tu argumento carece es de elaboración. De lo contrario, su argumento está muy bien.

En resumen, cuando usted está escribiendo pruebas, imagine que usted está escribiendo para alguien que quiere tener una imagen clara de su argumento de su prueba. Su trabajo será hacer que sea lo más claro y riguroso posible.

Por ejemplo, usted puede haber escrito la prueba de la siguiente manera,

Una raíz real siempre existe desde el grado de la ecuación es impar.

La única manera que he encontrado como para demostrar que es el uso Racional de la Raíz teorema. Que nos dice que...(inserte una breve declaración de la Raíz Racional Teorema de aquí).

El uso de este teorema de las posibles raíces racionales son $1$$-1$, pero ninguna de ellas funciona. Desde $f(x)=x^3+x+1\implies f(1)=3\ne 0$$f(-1)=1\ne 0$.

Por lo tanto la verdadera raíz tiene que ser irracional.