¿Cómo se relaciona el grupo cociente con el grupo de productos directos?

Question

Estoy tratando de entender lo que la relación es directa entre el producto y el cociente de grupo.

Si dejamos $H$ ser un subgrupo normal de un grupo de $G$, entonces no es demasiado difícil mostrar que el conjunto de todos los cosets de $H$ $G$ formas de un cociente grupo $G/H$: \begin{equation} G/H = \{ g H \mid g \in G \} \end{equation}

Por otro lado, el producto Cartesiano de dos grupos de $G$ $H$ se define como: \begin{equation} G \times H = \{ (g,h) \mid g \in G \text{ and } h \in H \} \end{equation} donde $(g,h)$ denota el conjunto de pares ordenados. El producto directo de la operación en este conjunto se define como: \begin{equation} (g_1,h_1)(g_2,h_2) = (g_1g_2,h_1h_2) \in G \times H \end{equation} y es fácil ver que el producto directo de los formularios de un grupo.

Es el siguiente afirmación verdadera: \begin{equation} K = G \times H \implies G \simeq K / (\{e_G \} \times H) \end{equation} Si es así, bajo qué condiciones es verdadera? Y ¿cómo podemos ver lo que es verdadero (o falso)?

Editar 26/03:

Hasta este punto, creo que he encontrado un método (ver más abajo) que muestra la relación de isomorfismo. Estaría muy agradecido si alguien me podria decir si esta prueba es correcta o no.

Permítanos identidad de los elementos de $h \in H$ con elemento de $K$ mediante el establecimiento $h \equiv (e_G,h)$. Los elementos de $K/H$ son, como de costumbre definido por: \begin{equation} K/H = \{ (g,h) H \mid g \in G \text{ and } h \in H \} \end{equation} Desde $h_1H=H$ algunos $h_1 \in H$, tenemos: \begin{equation} (g,h)H = (g',h')H \iff g=g' \text{ and } h' = h h_1 \tag{1} \end{equation} y entonces, sin pérdida de generalidad, podemos escribir cada elemento de a $K/H$ en la forma $(g,e_H)H$. Ahora, deja que el mapa: \begin{equation} f : G \to K/H \end{equation} se define por: \begin{equation} f(g) = (g,e_H) H \tag{2} \end{equation} El mapa es uno-a-uno. Esto puede ser visto por la ecuación de $(1)$ porque si: \begin{equation} f(g) = f(g') \end{equation} entonces: \begin{equation} (g,e_H) H = (g',e_H) H \implies g=g' \end{equation} Además, el mapa es trivialmente en: \begin{equation} \forall (g,h) H \in K/H \; \exists \; g \in G \; , \; f(g)=(g,h) H \end{equation} y así, el mapa es bijective. Finalmente, el mapa es también un homomorphism, porque: \begin{equation} f(gg') = (gg',e_H) H = (g,e_H)(g',e_H) H = (g,e_H)(g',e_H) HH = (g,e_H) H (g',e_H) H = f(g) f(g') \end{equation} y por lo $f$ es un isomorfismo. Por lo tanto, por definición de la ecuación de $(2)$, hemos demostrado que $G \simeq K/H$.

El aporte se agradece mucho.

Answer 1

La solución no está mal pero tiene unnecassary pasos. Usted puede simplemente utilizar las siguientes argumentos.

Deje $\pi:G\times H\to G$ mapa de proyección .yo.e. $\pi(g,h)=g$. Está claro que el mapa es sobre.

Reclamación$1:$ $\pi$ es un homomorphism;

$$\pi((g_1,h_1)(g_2,h_2))=\pi((g_1g_2,h_1h_2))=g_1g_2=\pi((g_1,h_1))\pi((g_2,h_2))$$ y puesto que es en el mapa es un epimorphism.

Reclamación$2$: $Ker(\pi)=e_G\times H$

Deje $\pi(x,y)=e_g$, se puede decir que $x=e_g$ $y$ es cualquier elemento en $H$, por lo que el resultado de la siguiente manera. Por la forma en que se muestran también que $e_G\times H$ es normal en $G\times H$.

Resultado: Por primera isomorphim teorema; $$(G\times H)/ker(\pi)=(G\times H)/(e_G\times H)\cong G$$

Notas: mediante el uso de la otra proyección puede mostrar smiliar argumento para$G\times e_H$$H$. Espero que usted está familiarizado con los teoremas de isomorfismo.

Answer 2

Esta afirmación siempre es cierta, ya que$H$ es un subgrupo normal de$G \times H$ (es decir,$xH = Hx$ para todo$x \in K$). Para ver por qué, considere dos casos:

1. El caso $x \in H$

2. El caso $x \notin H$

Entonces, la afirmación se deduce del teorema fundamental de los homomorfismos. Por cierto, debe reemplazar el segundo signo$=$ por el signo$\simeq$, en su estado de cuenta.

Answer 3

Supongamos que$G=H\times K$. Queremos mostrar$G/K\simeq H$. Considere el mapa$H\times K\to H\times 0\simeq H$ dado por$(h,k)\to (h,0)$. ¿Cuál es el núcleo de esto? ¿Qué es la imagen?

En general, el punto completo del producto directo se da los grupos$H$ y$K$ para formar un grupo$G=H\times K$ con copias$\hat K=1\times K$ y$\hat H=H\times 1$ tal que

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Además,$(\rm i)$ y$\hat H,\hat K\lhd G$.

Por el contrario, si$(\rm ii)$ contiene subgrupos$G=\hat H\hat K$ con$(\rm iii)$,$\hat K\cap \hat H=1$ y$G/\hat K\simeq H$.