Es -2 es una raíz de la ecuación : $\sqrt{x^2 - 8} = \sqrt{3x + 2}$ ?
¿Es alguna limitación de la raíz de esta ecuación?
Si la raíz es -2, ambos lados de la ecuación son iguales a 2i. ¿Es esto aceptable ya que la variable x no tiene ninguna limitación.
La ecuación por sí sola no está bien planteada; hay que decir qué tipo de número se permite $x$ ser, y lo que quiere decir el símbolo $\sqrt{\phantom{X}}$ .
Si la pregunta es "Encontrar todos los $x$ que satisfacen la ecuación, donde $\sqrt{\phantom{X}}$ denota la función de raíz cuadrada real habitual", entonces la respuesta es no, ya que $\sqrt{-2}$ es indefinido.
Pero si la pregunta es "Encontrar todos los complejos $x$ que satisfacen la ecuación, donde $\sqrt{\phantom{X}}$ denota la rama principal de la función raíz cuadrada compleja" (o alguna otra rama, pero esto debe especificarse siempre que se hable de raíces cuadradas complejas), entonces la respuesta es sí.
En algunos casos, puede quedar claro por el contexto a qué alternativa se refiere. Por ejemplo, si te hacen esta pregunta en un curso de cálculo de variables reales en el que no se explican los cortes de rama para las raíces cuadradas complejas, probablemente la primera respuesta ("no") sea la esperada.
Si la raíz es -2, ambos lados de la ecuación son iguales a 2i. ¿Es esto aceptable ya que la variable x no tiene ninguna limitación.
Obsérvese que la ecuación dada es $\sqrt{x^2-8}=\sqrt{3x+2}$ Ahora, elevando al cuadrado ambos lados, obtenemos $$x^2-8=3x+2$$ $$ x^2-3x-10=0$$ $$(x+2)(x-5)=0$$ Al resolverlo obtenemos $$x=-2, \ 5$$
Ahora, comprobemos ambas raíces, si son aceptables al satisfacer la ecuación dada (original)
Sustituyendo $x=-2$ obtenemos $LHS=RHS=\sqrt{-2}$ que es un valor indefinido por lo tanto, el $x=-2$ es inaceptable, es decir, no es una raíz de la ecuación dada.
Mientras que, sustituyendo $x=5$ obtenemos $LHS=RHS=\sqrt{17}$ que se define valor por lo tanto, el $x=5$ es una raíz de la ecuación dada no es $x=-2$
Además de sustituir y comprobar, podemos demostrarlo analíticamente.
$$\sqrt{x^2-8}=\sqrt{3x+2} \implies x^2-8=3x+2$$ $$\implies x^2-3x-10=0$$
Por la fórmula cuadrática: $$\implies x=-2 \text{ or } x=5$$
Cabe destacar que en la forma en que escribiste originalmente la ecuación, habría un problema de argumentos en la raíz cuadrada. Al permitir el cuadrado que hacemos aquí, estamos de acuerdo en pasar por alto esto, ya que el cuadrado de un número puramente imaginario es real.
No entiendo por qué alguien ha votado en contra cuando respuestas similares han sido votadas en contra. Así que neutralizar +1
Mi respuesta fue también la primera en mostrar un trabajo real. Creo que otras respuestas lo hacen para poder llevar su respuesta a lo más alto y conseguir más atención.
Encontramos raíces de solución involuntariamente (involuntariamente como extrañas / espurias) incluidas para $ \sqrt{x^2 - 8} = \pm \sqrt{3x + 2} $ debido a las cuadraturas.
Por lo tanto, si se consideran las raíces en el dominio/rango complejo, entonces $ x= - 2 $ es admisible en la gama compleja. Es decir, si la solución de $ \sqrt{z^2 - 8} = \pm \sqrt{3 z + 2} $ se pregunta, entonces es aceptable como raíz. La raíz de la solución real de x=5 de todos modos.
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Puede sustituir el valor y comprobar
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Sí, si el número complejo está permitido.
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Se conectaría para comprobarlo. Eso lleva a $$\sqrt{-4}=\sqrt{-4}$$ así que tendremos que averiguar si es cierto o no. Eso depende de cómo interpretemos el símbolo surd. Se podría decir que no está permitido con números negativos, en cuyo caso $-2$ no es una solución. O se puede decir que $\sqrt{-4}$ significa que tanto los números $2i$ et $-2i$ en algún sentido, o que significa cualquiera de esos dos números en algún sentido. Así que habría que estar seguro de cuál sería la igualdad entre esos dos símbolos. Una interpretación podría ser $$\{ 2i,-2i\} = \{ 2i,-2i\}$$ lo cual es cierto. Pero $$2i\ne -2i$$ por otro lado.