¿$8a+5$ Alguna vez divide$b^2+8$?

Question

Para% natural $a,b$, ¿$8a+5$ divide$b^2+8$?

No lo hace para$b$ hasta$10^7$.

No se pudieron encontrar obstrucciones de congruencia para módulos hasta$500$.

$b^2+8$ Puede ser par.

Answer 1

$8a+5$% Tiene un primer divisor$p$ congruente a 5 ó 7 modulo 8 (ya que un número natural extraño que tiene sólo divisores primarios congruentes a 1 ó 3 módulo 8 es congruente a 1 ó 3). A continuación, -2 es cuadrático no residuo modulo$p$, por lo tanto$(b/2)^2+2$ no es divisible por$p$.

Answer 2

Para la ecuación.

$$b^2+8=(8a+5)c$$

Usted puede escribir por ejemplo la siguiente parametrización.

$$b=12p^2+5p+11$$

$$a=-(6p^2+p+6)$$

$$c=-(3p^2+2p+3)$$

$a,c - $ negativo.

Va a hacer un reemplazo. Vamos a introducir el número. $k=\frac{t^2+8}{3}$

Vamos a utilizar las soluciones de la ecuación de Pell. $p^2-8s^2=1$

Sabiendo que la primera solución que se me $(p_0;s_0) - (3;1)$, usted puede encontrar el resto en la fórmula anterior.

$$p_2=3p_1+8s_1$$

$$s_2=p_1+3s_1$$

Ahora sabiendo esto, usted puede escribir las soluciones por sí mismos.

$$b=tp^2+(8k+3)ps+8ts^2$$

$$a=-(p^2+2tps+(8k-5)s^2)$$

$$c=-(kp^2+2tps+3s^2)$$

$t,p,s - $ puede tener cualquier signo.

Answer 3

Usted dice que usted no podía encontrar una congruencia obstrucción de los módulos de hasta el $500$, pero hay una obstrucción a tener $-8 \equiv b^2 \bmod 8a+5$, reveló por Jacobi reciprocidad. Desde $-8$ es una unidad modulo $8a+5$, por lo que sería $b$, y por lo tanto el uso de Jacobi símbolos tendríamos $(\frac{-8}{8a+5}) = (\frac{b^2}{8a+5}) = 1$. La positividad de $a$ se utiliza en el sentido de que el símbolo de Jacobi que se acaba de anotar y, lo que es más importante, computacional reglas para la Jacobi símbolo que se utilizará.

Desde $8a+5\equiv 5 \bmod 8$ tenemos $(\frac{2}{8a+5}) = -1$, e $(\frac{-1}{8a+5}) = (-1)^{((8a+5)-1)/2} = 1$, lo $(\frac{-8}{8a+5}) = (-1)^3 = -1$. Esta es una contradicción.