Funciones racionales en el espacio proyectivo n

Question

¿Cómo demostrar que el campo de funciones racionales en todo el espacio proyectivo $n$-dimensional es de funciones constantes?

Por función racional me refiero a cocientes de polinomios homogéneos del mismo grado definidos/regulares en todo el espacio proyectivo.

Answer 1

Una función racional $\phi\in \text {Rat}(\mathbb P^n)$ está definida en $p\in \mathbb P^n$ si existe algún representante $P/Q$ de $\phi$ con $P,Q\in k[T_0,\cdots,T_n]$ homogéneos del mismo grado tal que $Q(p)\neq 0.
Estás preguntando cómo caracterizar aquellas $\phi$ que están definidas en todos los $p\in \mathbb P^n$.
La respuesta es que las únicas $\phi$ son los elementos de $k$, las constantes. Aquí está la razón:

Cualquier $\phi$ no constante $\phi\in \text {Rat}(\mathbb P^n)$ tiene una única (salvo una constante no nula) expresión de la forma $P/Q$ con $P,Q$ homogéneos del mismo grado positivo y, crucialmente!, con $P,Q$ primos relativos.
La razón de esta agradable unicidad es, por supuesto, que $k[T_0,\cdots,T_n]$ es un DFD cuando $k$ es un campo.
Pero ahora afirmo que en cualquier cero $p\in \mathbb P^n$ de $Q$, la función racional $\phi$ no está definida.
Prueba de la afirmación
Otro representante de $\phi$ será de la forma $P_1/Q_1$ con $P_1,Q_1$ homogéneos del mismo grado.
Dado que tanto $P/Q$ como $P_1/Q_1$ representan a $\phi$, tenemos que $PQ_1=P_1Q$ por lo que $Q$ divide a $PQ_1$ y como $P,Q$ son primos relativos, $Q$ debe dividir a $Q_1.
Ah, pero entonces $Q(p)=0$ implica $Q_1(p)=0$: por lo que, por mucho que lo intentemos, nunca encontraremos un representante de $\phi$ cuyo denominador no se anule en $p.
En resumen, $\phi$ no está definida en $p$.

El final de la historia es que si asumimos que $k$ es algebraicamente cerrado, cualquier polinomio homogéneo de grado positivo $Q$ tendrá algún cero $p$ y el razonamiento anterior muestra que ningún $\phi\in \text {Rat}(\mathbb P^n)\setminus k$ no constante está definido en todo $\mathbb P^n$.

Dilo en fórmulas $$ \mathcal O(\mathbb P^n)=k\subsetneq \text {Rat}(\mathbb P^n)=k(T_1/T_0,\cdots, T_n/T_0)\subsetneq k(T_0,T_1,\cdots, T_n) = \text {Rat}(\mathbb P^n)(T_0) $$