Conclusión del teorema de Bolzano-Weierstrass

Question

¿Puedo concluir del teorema de Bolzano-Weierstrass que hay más de una subsecuencia convergente, o el teorema me dice que sólo hay una?

Para ser más claro, dada una secuencia acotada$X_n$, no converge de manera gratuita, puedo concluir que hay dos subsecuencias diferentes$X_{n_k}$ que converge a$L_1$ y$X_{n_l}$ que converge a$L_2$?

Answer 1

Si la secuencia$X_n$ no es convergente entonces realmente encontrará al menos dos límites . Bolzano-Weierstrass asegura uno, digamos$x$. Como la secuencia no converge a$x$, existe un$\epsilon$, de modo que infinitamente muchos elemet de la secuencia están fuera de$U_\epsilon(x)$. Estos elementos forman una nueva subsecuencia de$X_n$ que por sí misma está limitada y por Bolzano-Weierstrass tiene un (sub-) límite que, ahora, no puede ser$x$.

Answer 2

Esto no se sigue de BW, pero tenemos lo siguiente:

Proposición: Una secuencia en$\Bbb R$ convergerá si y sólo si todas las subsequencias convergen al mismo límite.

Por lo tanto: para cualquier secuencia limitada no convergente, usted será capaz de encontrar subsecuencias con límites distintos. Para cualquier secuencia convergente, cada subsecuencia tendrá el mismo límite que la secuencia original.

Answer 3

El teorema indica que, dada una secuencia acotada, subsiste una (o más) subsecuencia (s) convergente (s) / s.

Dada una secuencia que converge a$L \in \mathbb{R}$, todas sus subsequencias convergen a$L$.

Ejemplo: $(-1)^n$ es nuestra secuencia limitada. Podemos observar dos subsequencias convergentes:$1^n$ y$-(1^n)$. El primero converge a$1$, mientras que el segundo converge a$-1$. De hecho, la secuencia limitada es irregular (no converge ni diverge).

Answer 4

La de Bolzano-Weierstrass, el teorema dice que cada infinito, limitado secuencia convergente sub-secuencia. Yo creo que la pregunta aquí es si dicha secuencia puede tener más de uno de estos convergente larga, que converge hacia un límite diferentes. La respuesta es claramente "sí". Mira la secuencia formada por la imbricación de dos secuencias convergentes a dos límites diferentes. Por ejemplo, la secuencia de 1, 1/2, 1/3, ..., 1/n converge a 0, mientras que la secuencia 2, 3/2, 4/3, ..., (n+1)/n converge a 0. La secuencia 1, 2, 1/2, 3/2, 1/3, 3/4, ..., la alternancia de los términos de las dos secuencias es un almacén de secuencia que tiene dos convergente larga, una convergente a 0, los otros convergen a 1.

Answer 5

Una formulación equivalente de la BW es el teorema de que cualquiera limitada secuencia tiene al menos un punto de acumulación. Como se señaló en la respuesta de Omnomnomnm también sabemos que para una secuencia convergente, todas las subsecuencias convergen al mismo límite.

Así que, dadas dos secuencias convergentes $\{a_n\} \to a$$\{b_n\} \to b$$a \ne b$ , el sequece $\{c_n\}$ con $c_{2k}=a_k$ $c_{2k+1}=b_k$ es limitada ( porque las dos a partir sequeces son acotados) y tiene dos diferentes acumulación de puntos.

Genarizing este se puede construir una secuencia delimitada con muchos de acumulación de puntos.