Baire y la unión de bolas diádicas del centro racional

Question

Supongamos que $\{r_n\}_{n=0}^\infty$ es una enumeración de $\mathbb{Q}^N$$U = \bigcup_{n=0}^\infty B(r_n,2^{-n})$. Podemos utilizar un trivial teoría de la medida argumento para probar que el $U \neq \mathbb{R}^N$.

Estaba hurgando en Análisis Real por Carothers en la sección de categoría de Baire (antes de la teoría de la medida ha sido desarrollado en el libro), y me di cuenta de que hay un problema hay que pide demostrar que $U \neq \mathbb{R}^N$. No hay indicios, pero dada la colocación en el libro, el objetivo es de suponer que el uso de categoría de Baire.

Nunca he visto a un no-medida basada prueba de este resultado, así que me dio una oportunidad. Estoy un poco atascado, sin embargo. Es claro que Baire nos dice que uno de los conjuntos de $\bigcup_{n=k}^\infty B(r_n,2^{-n})$ $k \in \mathbb{N}$ no debe ser densa, pero no estoy seguro de cómo utilizar esta información para comprobar el resultado. Cualquier pensamiento, sería muy apreciado.

EDIT: Aquí están los detalles de mi anterior afirmación. Set $U_k = \bigcup_{n=k}^\infty B(r_n,2^{-n})$, lo cual es claramente abierto. Supongamos, BWOC, que cada una de las $U_k$ es denso en $\mathbb{R}^N$. Luego Baire dice que $\bigcap_{k=0}^\infty U_k$ es denso en $\mathbb{R}^N$, pero en el otro lado, por la construcción de $\bigcap_{k=0}^\infty U_k = \varnothing$. Esta contradicción significa que debemos tener $E_k$ no densa para algunos $k$.

EDIT 2: Como se señaló en los comentarios de abajo, este argumento no parece volar. Así que, de nuevo al cuadrado uno...

Answer 1

Usted puede conseguir la inspiración de la teoría de la medida sin utilizar realmente, de la siguiente manera.

Deje $D$ ser cualquier línea recta en ${\mathbb R}^N$ (que se identifican con $\mathbb R$). Para cualquier $n\geq 0$, $I_n=B(r_n,2^{-n}) \cap D$ es un (posiblemente vacía) abrir el segmento de recta de longitud en la mayoría de los $2\times 2^{-n}$. Por lo que la suma de las longitudes de las $I_n$ es en la mayoría de las $4$. Es entonces fácil de construir por la inducción de una disminución de la secuencia de subconjuntos compactos $(K_n)_{n\geq 1}$$D$, de tal manera que para cada una de las $n$, $K_n$ es disjunta de a $I_n$, e $K_n$ es una unión finita de cerrada la línea de segmentos cuyas longitudes suma de hasta por lo menos $2015-\sum_{k=1}^{n}{\textsf{length}}(I_k)$.

Por el Heine-Borel propiedad, $\bigcap_{n\geq 1}K_n$ es no vacío y cualquier $x$ va a estar fuera de su $U$.

Answer 2

Carothers (2000, pág. 136) señala que este problema fue adaptado de un artículo corto por Wilansky (1953). Dicho documento, a su vez, utiliza la clásica medida de la teoría de argumento para demostrar que el complemento de $U$ no está vacío. Las pruebas de las otras declaraciones, a saber, que

• $U$ está abierto,
• $U$ es densa, y
• $U^c$ es denso en ninguna parte,

no requieren de categoría de Baire teorema.

Por lo tanto, parece que Carothers nunca tuvo la intención de que el lector venir para arriba con una puramente topológico argumento excluyendo la teoría de la medida, a pesar del hecho de que la teoría de la medida es discutida más adelante en el libro.

Answer 3

@EwanDelanoy alrady publicado la idea principal, pero desde entonces he trabajado bastante para esto, voy a publicar mi versión del argumento así.

Primero de todo, no hay Baire-categoría de argumento, o cualquier puramente topológico (no métrica) argumento, el que puede dar el resultado. La declaración es una métrica uno, y depende íntimamente de los diámetros de las cubrimiento de conjuntos. Aquí está un ejercicio: tomar la dimensión que se $1$. Si $a_n=1$ es la secuencia de radios, muestran que para cualquier enumeración de los racionales, las bolas $B(r_n,a_n)$ cubierta $\mathbb{R}$. Si $a_n=\frac{1}{n}$ , muestran que para algunas enumeraciones de las bolas de la cubierta, para algunos otros que no. Luego de clasificar con precisión las secuencias $a_n$, de modo que las bolas de la cubierta para cada enumeración, los que cubren de algunas enumeraciones, y aquellos que no cubrir cualquier enumeración.

Ahora para el problema en la mano, vamos a suponer que $U=\mathbb{R}^n$ y proceder a derivar una contradicción. En $\mathbb{R}^n$ $\overline{0}$ a ser el origen y $\overline{N} = (N,0,\cdots,0)$. Let $I$ be the closed line segment joining them. $U$ es una apertura de la tapa del conjunto compacto $I$, por lo que existe un número finito de bolas centrado en decir $q_0,\cdots, q_M$ que cubren $I$.

Por estricta convexidad (esto no es necesario, pero simplifica argumentos), el las intersecciones de la open bolas con $\textrm{R}\times 0 \times\cdots\times 0$ están abiertos los intervalos de denota $V_i = (l_i,r_i)$. Deje $V_0$ ser un intervalo abierto contiene $0$ por etiquetar de nuevo si es necesario.

Realice el siguiente procedimiento iterativo: iniciar con $V_0$ y supongamos que han construido $V_{i-1}$. Si $V_{i-1}$ contiene $N$, luego se detiene.
Si no, existe un intervalo, se $V_i$, por lo que el $l_i<r_{i-1}<r_i$.
Si no existe, entonces el $V$ sería dividir en dos grupos: aquellos con $r_i\leq r_{i-1}$ y los con $r_{i-1}\leq l_i$. La primera (abierto) conjunto es contenida en un intervalo $[-1,r_{i-1}-\epsilon]$ y la segunda en algunos $[r_{i-1}+\epsilon, N+1]$; por lo tanto la colección de $V_i$ no cubre $[0,N]$, un contradicción.

Ya que disponemos de un número finito de intervalos, este procedimiento va a terminar con un intervalo de $V_m$ ($0\leq m\leq M$) que contiene $N$. Así que ahora tenemos una cadena de los intervalos de $V_0,\cdots, V_m$, de modo que $$V_i\cap V_{i+1}\neq \emptyset,$$ $$0\in V_0$$ and $$N\in V_m.$$

Deje $t_0=0,t_m=N$ y recogida $$t_i\in V_{i-1}\cap V_i$$ for $1\leq i \leq m$ (si $m=0$ saltar a la contradicción de inmediato). Entonces $$N-0 = t_m-t_{m-1}+t_{m-1}-t_{m-2}+\cdots +t_1-t_0\leq \sum |t_i-t_{i-1}|.$$

Pero el segmento* $[t_0,t_1]$$V_0$; el segmento de $[t_1,t_2]$$V_1$; el segmento de $[t_2,t_3]$ $V_2$ y así sucesivamente. Por lo tanto la longitud de cada uno de los segmento es en la mayoría de la longitud de la $V_i$ es contenida, que a su vez es más el diámetro de la bola de la que proviene, y la suma de estos diámetros es en la mayoría de las $3$, lo $N\leq 1$ dando una contradicción para un gran $N$.

*(Nota: no es necesariamente cierto que $t_i<t_{i+1}$, es decir, el camino de $t_i$ podría oscilar, así que cuando escribo $[t_i,t_{i+1}]$ Me refiero a la más pequeña de las dos es el extremo de la izquierda y, a continuación, el más grande de los dos de la derecha).