Condiciones para cuando una clase es un cuadrado en el grupo de clases ideales de un campo cuadrático.

Question

Sea Q( $\sqrt{d}$ ) sea un campo numérico con discriminante $D$ tal que $d \equiv 1,3$ (mod 4). Sea $\mathcal{O}$ sea su anillo de enteros y $cl(\mathcal{O})$ el grupo de clase correspondiente. Consideremos una clase arbitraria $\overline{I} \in cl(\mathcal{O})$ . Entonces mi afirmación es que tampoco (corregidme si me equivoco):

$N(I)$ es un residuo cuadrático mod $D$ para cualquier ideal $I \in \overline{I}$ . Llamemos $\overline{I}$ una clase QR.

$N(I)$ es un no-residuo cuadrático mod $D$ para cualquier ideal $I \in \overline{I}$ . Llamemos $\overline{I}$ una clase QNR.

El razonamiento es que dos ideales cualesquiera $I,J \in \overline{I}$ están relacionados por dos ideales principales $(a), (b)$ de la siguiente manera: $(a)I = (b)J$

He demostrado que en estas circunstancias la norma de cualquier elemento en $\mathcal{O}$ es un QR mod $D$ . Por lo tanto $N((a)), N((b))$ son QR y si $N(I)$ también es un QR, entonces también lo es $N(J)$ .

Tengo muchos cálculos que me llevan a creer que una clase es una clase QR si y sólo si es un cuadrado en $cl(\mathcal{O})$ . Demostré la dirección inversa considerando un ideal cuadrado particular $J^2 \in \overline{I}$ donde $\overline{I}$ es un cuadrado en $cl(\mathcal{O})$ . Obviamente $N(J^2)$ es un QR y por tanto $\overline{I}$ es una clase QR.

Pero no veo una prueba de la dirección hacia adelante. No he sido capaz de construir un ideal cuadrado específico en una clase QR y considerar el contrapositivo no me ha llevado a ninguna parte.

Soy bastante nuevo en la teoría algebraica de números y me interesaría conocer cualquier herramienta que me ayude a resolver este tipo de problemas. Gracias de antemano.

Answer 1

$\newcommand\Z{\mathbb{Z}}$ $\newcommand\A{\mathbb{A}}$ $\newcommand\Q{\mathbb{Q}}$ $\newcommand\Gal{\mathrm{Gal}}$ $\newcommand\tpsi{\widetilde{\psi}}$ $\newcommand\Hw{\widetilde{H}}$

Supongamos que el discriminante $D$ tiene $m$ divisores primos distintos. Existe un mapa

$$\psi: (\Z/D \Z)^{\times} \rightarrow (\Z/D \Z)^{\times}/(\Z/D \Z)^{\times 2} = \prod_{p|D} (\Z/2\Z)$$

Tenga en cuenta que, si $D$ es par, entonces los supuestos implican que $4 \| D$ y así $(\Z/4\Z)^{\times}$ módulo al cuadrado es $(\Z/2\Z)$ . Por la teoría de campos de clases, esto da lugar a una extensión $H/\Q$ unramified outside $D \infty$ cuyo grupo de Galois es $(\Z/2\Z)^m$ . Explícitamente, viene dado por el compositum de los campos $\Q(\sqrt{p^*})$ donde, para $p$ impar, $p^* = (-1)^{(p-1)/2} p$ y para $p = 2$ tomamos $p^* = -1$ y $p$ recorre todos los primos que dividen $D$ .

También se puede considerar que procede de un mapa sobre los grupos de clase idel:

$$\psi: \Q^{\times} \backslash \A^{\times}_{\Q} \rightarrow \prod_{p | D} (\Z/2 \Z)$$

Explícitamente, el mapa se define del siguiente modo: dado un idele $\alpha = (\alpha_v)$ por un argumento elemental que se deduce de la factorización única en $\Q$ --- multiplicar por un elemento de $\Q^{\times}$ para que $\alpha_v \in \Q^{\times}_v$ es una unidad para todo $v$ y es positivo en el lugar real. De hecho, existe un único representante de este tipo. Entonces se puede proyectar $\alpha$ a $(\alpha_v)_{v \in D}$ y luego proyectar a $$\prod_{v|D} (\Z/v \Z)^{\times} = (\Z/D\Z)^{\times}$$ y finalmente mapear al objetivo utilizando el mapa $\psi$ .

Por otra parte, se puede dar una descripción alternativa de $\psi$ . Supongamos que $\alpha$ es un ídolo que es una unidad para todo $v|D$ y es positivo en el infinito. Entonces se puede considerar

$$\prod_{v \ne \infty} |\alpha_v|_v \in (\Z/D\Z)^{\times}$$

et $\psi(\alpha)$ es sólo la imagen de este elemento bajo $\psi$ . Esta traducción es elemental. Como ejemplo, supongamos que $\alpha_v = 1$ para $v \ne p$ y $\alpha_p = p$ para algunos $(p,D) = 1$ . Entonces el producto anterior sería $1/p$ y la segunda descripción enviaría $\alpha$ a la imagen de $1/p$ . Para la primera descripción, primero multiplicamos $\alpha$ por $1/p$ y luego $\alpha_v = 1/p$ para todos $v \ne p$ y $\alpha_p = 1$ . Esta es ciertamente una unidad en todos los lugares y positiva en el infinito. Pero ahora el elemento $(1/p,\ldots,1/p) \in \prod_{v|D} \Q^{\times}_v$ proyectos a $1/p \in (\Z/D \Z)^{\times}$ .

Ahora existe un mapa correspondiente

$$\tpsi:=\psi \circ N_{F/\Q} F^{\times} \backslash \A^{\times}_{F} \rightarrow \prod_{p | D} (\Z/2 \Z) = \Gal(H/\Q).$$

Por functorialidad (en teoría de campos de clases), la imagen de $\tpsi$ es precisamente $\Gal(H/F)$ y el mapa correspondiente es exactamente el mapa de Artin. Por otra parte, la extensión $H/F$ es unramificado en todos los lugares finitos por construcción. Por lo tanto, por la teoría de campos de clases, el mapa $\psi \circ N_{F/\Q}$ factores a través del estrecho grupo de clase. Además, por la segunda descripción de $\psi$ anterior, se puede describir el mapa explícitamente de la siguiente manera: Elija un representante $I$ del estrecho grupo de clase $C_{F}$ se toma su norma y se considera el elemento correspondiente en $(\Z/D \Z)^{\times}$ modulo cuadrados. Esto es muy parecido a lo que afirmas que existe en tu pregunta, excepto que ahora tenemos realmente un homomorfismo de grupos.

Un inconveniente es que este mapa es en realidad un mapa del estrecho grupo de clase de $F$ en lugar del grupo de clase de $F$ . El grupo de clase estrecho se define como los ideales fraccionarios no nulos módulo a la relación $I \sim J$ cuando $I = (\alpha) J$ y $\alpha$ es un elemento totalmente positivo (para un campo cuadrático complejo es un enunciado vacío, y cuando $F$ es un campo cuadrático real sólo significa que la norma de $\alpha$ es positivo). Esto se debe a que, cuando $F/\Q$ es real, la extensión $H/\Q$ no siempre es real, por lo que la extensión $H/F$ aunque no es ramificada en todos los primos finitos, es ramificada en el infinito. Resulta importante trabajar con el grupo de clase estrecho. Como ejemplo, supongamos que $F = \mathbf{Q}(\sqrt{21})$ así que $D = 21$ . En este caso, el grupo de clase $C_F$ es trivial y el grupo de clase estrecho $C^{+}_F$ es $\Z/2\Z$ . Considere el ideal

$$I:=(\alpha) = \left(\frac{1 + \sqrt{21}}{2}\right).$$

Claramente $I$ es principal. Sin embargo, la norma del ideal $I$ es $5$ y esto no es ni un módulo cuadrado $3$ ni módulo $7$ . En concreto, tu afirmación no es del todo correcta (sin embargo, como no has dado el argumento, no puedo decir dónde has cometido un error). Por supuesto, puesto que la norma de $\alpha$ es $-5$ la clase $I$ es diferente de la clase trivial dentro del grupo de clases estrechas.

Recapitulemos: tenemos un mapa:

$$\tpsi: C^{+}_F \rightarrow \Gal(H/F) \subset \Gal(H/\Q) = \prod_{p | D} (\Z/2 \Z)$$

en el grupo de clase estrecho, cuya imagen es precisamente $\Gal(H/F)$ . Ciertamente factores a través de $C^{+}_F/2 C^{+}_F$ . Considere la extensión $\Hw/F$ asociado a $C^{+}_F/2 C^{+}_F$ por la teoría del campo de clases. Ciertamente $\Hw$ contiene $H$ y $\Hw$ es Galois sobre $\Q$ y $\Hw/F$ es unramificado en todos los lugares finitos. Por otra parte, la acción de $\Gal(F/\Q)$ en $C^{+}_F$ es por $-1$ ya que $I \cdot \sigma(I) = (N(I))$ es trivial en el grupo de clase estrecho. Por tanto, la acción de $\Gal(F/\Q)$ en el cociente $C^{+}_F/2 C^{+}_F$ es trivial. Se deduce (de nuevo por la compatibilidad de estas construcciones por la teoría de campos de clases) que la acción de $\Gal(F/\Q)$ en $\Gal(\Hw/F) = C^{+}_F/2 C^{+}_F$ también es trivial. Esto implica que $\Gal(\Hw/\Q)$ es abeliano. Pero ahora, usando la teoría de campos de clases para $\Q$ Esto obliga a $\Hw$ contenidos en $H$ y, por tanto $\Hw = H$ . (La cuestión es que como conocemos las extensiones abelianas de $\Q$ podemos ver explícitamente que $H$ es la mayor extensión no ramificada sobre $F$ en todos los lugares finitos). Por tanto, el núcleo de $\psi$ es precisamente $2 C^{+}_F$ .

Esto responde positivamente a su pregunta, hasta el requisito de trabajar con el grupo de clase restringido en lugar de con el grupo de clase.

La suposición de que $d$ es impar puede modificarse; si $d$ es par, entonces en lugar de pedir que la norma sea un cuadrado módulo $4$ se pediría que $N(I) \equiv 1,5 \mod 8$ o $1,7 \mod 8$ dependiendo de si $F(\sqrt{-2})/F$ o $F(\sqrt{2})/F$ no estaba codificado.