Encontrar $C$ tal que $x^2 - 47x - C = 0$ ha entero raíces, y otras condiciones

Question

Han estado trabajando en esto durante años. Se necesita un sistema que demuestra que existe un número $C$ que tiene ciertas propiedades. Voy a dar un ejemplo concreto, pero estoy buscando un sistema que podría ser generalizada.

Encontrar (o demostrar que no existe) $C$, de tal manera que la cuadrática $x^2 - 47x - C = 0$ ha entero raíces, y además, $C$ debe tener TODA $2$, $3$ y $5$ como únicos factores primos (aunque cada una de estas puede ser cualquier número entero positivo de alimentación).

Answer 1

La fórmula cuadrática implica que esto es equivalente a obtener $47^2+4C$ a ser el cuadrado de un entero impar.

$$47^2-(2n+1)^2=-4C\\ 4(23-n)(24+n)=-4C\\ (n-23)(n+24)=C$$

Así que tenemos que encontrar $n$ tal que $(n-23)(n+24)$ es un múltiplo de a $30$ sin factores primos distintos de $2,3,5$$47^2+4(n-23)(n+24)\geq 0$.

La inspección revela $n=3$ de una solución con $C=-20\cdot 27=-2^23^35=-540$. A continuación, $47^2+4C=49$ y la fórmula cuadrática da raíces $$\frac{47+7}{2}=27\text{ and }\frac{47-7}{2}=20$$ to the equation $$x^2-47x+540=0$$

Editar:

Este era "demasiado largo para un comentario."

Yo especulo que el método doy arriba puede ser empujado un poco más para conseguir que los valores de $n$ trabajo, lo que proporciona una integral parametrización de las soluciones de ($C$) del problema.

El mismo enfoque se puede aplicar a $x^2-397x-C=0$ $2,3,5,7,11,13,17,19$ como factores primos. Tienes razón en que "la inspección" sólo obtiene hasta el momento. No quiero pasar el tiempo en el caso que pones en tu comentario, pero mi primer enfoque sería utilizar el método anterior para obtener una parametrización de $C$ en términos de $n$, el uso de congruencias y el teorema del resto chino para restringir los posibles valores de $n$, y escriba un algoritmo de búsqueda de los primeros a $n$ que trabajo.

Answer 2

Dicen $$ x^2 -47x - c = (x-a)(x-b) $$ para los números enteros $a$$b$. Entonces $$ a + b = 47 \\ -ab = C. $$ Por lo $a$ $b$ sólo debe tener $2,3,5$ en su descomposición en factores primos.

Decir $b$ es divisible por $5$ (uno de ellos debe ser). Así que decir $b = 5n$. Así que, a continuación, $47 - a$ es divisible por $5$. Y $a$ debe $-13 , -8 , -3 , 2, 7, 12, 17, \dots$. Por lo $a = 2 + 5m$. Seleccionar aquellos que son divisibles únicamente por $2$ o $3$.

Por ensayo y error $$ a = -3, b = 50 $$ iba a funcionar. Otra solución es $$ a = 72, b = 25. $$ Nota, por ejemplo, que $a=12$ daría $b = 35$, pero, a continuación, $b$ es divisible por $7$.

Answer 3

$$C=150=2\cdot3\cdot5^2\implies x\in\{-3,50\}$$ $$C=-90=-2\cdot3^2\cdot5\implies x\in\{2,45\}$$ $$C=-480=-2^5\cdot3\cdot5\implies x\in\{15,32\}$$ $$C=-540=-2^2\cdot3\cdot5^2\implies x\in\{20,27\}$$

Answer 4

Bueno, si $ax^2+bx+c$ ha entero raíces, a continuación, $\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ es un número entero. Ya que en este caso $a=1$ $b=-47$ y queremos encontrar $C$, $$\frac{47\pm \sqrt{(-47)^2+4C}}{2}=\frac{47\pm \sqrt{2209+4C}}{2}$$ is an integer. $47$ is odd. Since the fraction is an integer, the numerator must be divisible by $2$. Since $47\pm \text{odd_number}$ is even (and even means divisible by two), $\sqrt{2209+4C}$ must be an odd number. That in turn means $2209+4C$ debe ser un extraño plaza.

También sabemos que $C=2^a\times 5^b\times 3^c$. Así que ahora tenemos que resolver la ecuación de $2209+4\times 2^a5^b3^c=x^2$ para los números enteros. Usted puede usar una computadora para resolver desde aquí, si quieres.

$$2209+4\times 2^a5^b3^c=\text{a square bigger than 2209}\\ \Longrightarrow \text{a square bigger than 2209}-2209=4\times 2^a5^b3^c\\ \Longrightarrow (47+l)^2-47^2=4\times 2^a5^b3^c$$

Para algunos entero $l$. A ver si la toman de aquí...