Demuestre que$\lim\limits_{n\to\infty} \frac{S_n - s}{S_n+s} = 0$ implica$\lim\limits_{n \rightarrow \infty} S_n = s$

Question

Demuestre que si$$ \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \frac{S_n-s}{S_n+s} = 0$$ then $$\lim\limits_{n \rightarrow \infty} S_n = s$ $

Sugerencia: Defina$t_n = \frac{S_n -s}{S_n + s}$ y resuelva para$S_n$

Por la pista:$$t_n = \frac{S_n -s}{S_n + s}$ $$$(S_n + s)t_n = S_n -s$

ps

Como$$S_n(t_n-1)= - s -st_n$, sigue:

ps

¿Es mi argumentación correcta / apropiada? ¿Hay que añadir algo?

Apreciado mucho por su opinión.

Answer 1

Creo que su prueba es correcta y agradable! Como$t_n\rightarrow0$, no tenemos problemas con el denominador.

Answer 2

Alternativamente: Deje$S_n=T_n-s$, entonces:$$\lim_\limits{n\to\infty} \left(1-\frac{2s}{T_n}\right)=0 \Rightarrow \lim_\limits{n\to\infty} T_n=2s \Rightarrow $ $$$\lim_\limits{n\to\infty} (S_n+s)=2s \Rightarrow \lim_\limits{n\to\infty} S_n=s.$ $