¿La intersección de dos planos ortogonales es una recta o el vector cero?

Question

Me cuesta entender un concepto relativamente sencillo de álgebra lineal:

Sé que la intersección entre dos subespacios ortogonales es el vector cero.

Pero también sé que la intersección entre dos planos ortogonales es una recta.

Un plano es un subespacio.

Pero....a línea no es el vector cero.

¿Dónde me equivoqué en mi lógica?

Answer 1

editar, tl;dr: Lo que suele significar que dos planos son ortogonales entre sí en geometría es que sus normales son ortogonales entre sí.

En otras palabras: dos subespacios unidimensionales que son ortogonales entre sí.

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2 planos cuyas normales son ortogonales entre sí se dice a veces que son ortogonales. Se trata de una ortogonalidad geométrica específica que señala que el normales de los planos son ortogonales entre sí. Cuando se habla de subespacios ortogonales entre sí lo que se suele querer decir es que todos sus vectores son ortogonales por pares. Pero puedes comprobar por ti mismo que 2 subespacios 2D no pueden tener 0 intersección de vectores en $\mathbb R^3$ .

Pero si lo piensas más detenidamente, verás que el significado geométrico de que las normales sean ortogonales entre sí significa en realidad que el complemento del conjunto 1 y el complemento del conjunto 2 son ortogonales entre sí. Así que hay una conexión con el mismo concepto de ortogonalidad, pero los subespacios son de 1 dimensión.

Answer 2

2 aviones en $\mathbf {R}^3$ pueden ser ortogonales, pero nunca serán subespacios ortogonales. Una forma fácil de comprobarlo es el hecho de que la dimensión de un espacio vectorial es igual a la suma de la dimensión de un subespacio más la dimensión del espacio ortogonal del subespacio. En otras palabras, un subespacio ortogonal a un plano en $\mathbf {R}^3$ sería necesariamente una línea normal al plano que pasa por el origen.

Cada vector de un subespacio ortogonal debe ser ortogonal a cada vector del subespacio al que es ortogonal. Se puede comprobar que esto no es así para 2 planos en $\mathbf {R}^3$ . Ambos contienen vectores en su intersección, que es una línea. Puedes ver que los vectores en esa línea no son ortogonales a sí mismos, excepto el vector 0.

Answer 3

Para los colectores $V,W$ o, aquí, subespacios, en posición general, que viven en un espacio de dimensión $n$ la dimensión de la intersección $V \cap W$ es $n-(Dim(V)+Dim(W))$ . Ya que está trabajando con planos, vamos a suponer $n=3$ . Entonces $Dim(U\cap W)=2+2-3=1$ EDIT: Por supuesto, hacemos ajustes "razonables" cuando este valor es negativo.

Answer 4

Solemos decir que los subespacios $U\subseteq V$ y $W\subseteq V$ de un espacio vectorial euclidiano $V$ son ortogonales si todos los vectores $u\in U$ y $w\in W$ son ortogonales entre sí. Ahora, para $V=\Bbb R^3$ con $U$ y $W$ cualquier dos planos distintos, $U\cap W$ es una línea que contiene algún vector no nulo $v$ . Así que $u:= v\in U$ y $w:=v\in W$ no son ortogonales entre sí, porque $v$ no es ortogonal a sí mismo. Así que, como se ha señalado en los comentarios, dos planos en $\Bbb R^3$ nunca son ortogonales entre sí como subespacios.

Cuando se habla de planos ortogonales en $\Bbb R^3$ se podría pensar en planos cuyos vectores normales son ortogonales, pero esta propiedad no está relacionada con la anterior, ya que acabamos de ver que los planos en $\Bbb R^3$ nunca pueden ser ortogonales entre sí.

Answer 5

Un plano (2-d) sólo es un subespacio si contiene el vector cero $(0, \dots,0) $ . La intersección de subespacios ortogonales es $(0,\dots ,0) $ . Es concebible que haya dos planos en $R^3$ que son subespacios con intersección $(0,0,0) $ . Sin embargo, como se ha señalado anteriormente, no hay "planos ortogonales" en $R^3$ ... Porque si lo hubiera, entonces $dim (V+W)$ sería 4. En $R^n $ , $n\gt 3$ ...hay suficiente espacio para hacer esto, creo...