Esta es una elaboración en mi comentario. La serie converge. Aplicamos el siguiente lema sobre el intercambio de límites.
Lema
Una doble secuencia $\{a_{nk}\}$ satisface
(1) $f(K):=\lim\limits_{N\rightarrow\infty} \sum\limits_{n=0}^N \sum\limits_{k=0}^K a_{nk}$ existe para cada una de las $K$.
(2) $g(N):=\lim\limits_{K\rightarrow\infty} \sum\limits_{k=0}^K \sum\limits_{n=0}^N a_{nk}$ converge uniformemente en $N$.
(3) $A:=\lim\limits_{K\rightarrow\infty}\lim\limits_{N\rightarrow\infty} \sum\limits_{k=0}^K\sum\limits_{n=0}^N a_{nk}$ existe.
A continuación,$\lim\limits_{N\rightarrow\infty}\lim\limits_{K\rightarrow\infty}\sum\limits_{k=0}^K \sum\limits_{n=0}^N a_{nk} = \lim\limits_{K\rightarrow\infty}\lim_\limits{N\rightarrow\infty} \sum\limits_{k=0}^K\sum\limits_{n=0}^N a_{nk}$. Lo que justifica el intercambio de los límites de
$$
\sum_{n=0}^{\infty} \sum_{k=0}^{\infty} a_{nk} = \sum_{k=0}^{\infty}\sum_{n=0}^{\infty} a_{nk}.
$$
Prueba) Deje $\epsilon>0$. La condición (3) medios de $\lim\limits_{K\rightarrow\infty}f(K)=A$. Tenemos que demostrar a $\lim\limits_{N\rightarrow\infty}g(N)=A$. Por (2) y (3), podemos encontrar $K_0=K_0(\epsilon)$ tal que
$$
K\geq K_0 \Longrightarrow |f(K)-A|\le \epsilon,
$$
$$
K\geq K_0 \Longrightarrow \left| g(N)-\sum_{k=0}^K \sum_{n=0}^N a_{nk} \right|\le \epsilon \ \ \textrm{ todas }N.$$
Por (1), para cada una de las $K$ existe $N_0=N_0(\epsilon,K)$ tal que
$$
N\ge N_0 \Longrightarrow \left|f(K)-\sum_{n=0}^N \sum_{k=0}^K a_{nk} \right| \le \epsilon.
$$
Si $N\ge N_0=N_0(\epsilon,K_0)$, los rendimientos de los
$$
|g(N)-A|\leq \left| g(N)-\sum_{k=0}^{K_0} \sum_{n=0}^N a_{nk} \right|+\left|\sum_{n=0}^N \sum_{k=0}^{K_0} a_{nk} -f(K_0)\right|+|f(K_0)-A|\le 3\epsilon.
$$
Por lo tanto, tenemos el resultado.
Principal Problema
Consideramos que la suma de partida en $n=3$. Por expansión de Taylor de logaritmo,
$$
\sum_{n=3}^{\infty} (-1)^n \log \left( 1+ \frac{\sin n}{\log n}\right)=\sum_{n=3}^{\infty} (-1)^n \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k-1}}k \left(\frac{\sin n}{\log n}\right)^k.
$$
Vamos a probar que la suma de intercambiar
$$
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k-1}}k \sum_{n=3}^{\infty} (-1)^n \left(\frac{\sin n}{\log n}\right)^k.
$$
converge, y que satisface las condiciones del lema. En el interior de la suma, vamos a
$$
a_n=\log^{-k} n, \ \ \ \, b_n=(-1)^n \sin^k n, \ \ \ \ B_m=\sum_{n=3}^m b_n.
$$
Supongamos que tenemos la enlazado $|B_m|\leq M_k$. Desde $a_n$ está disminuyendo (y sumación por partes),
$$
\left|\sum_{n=3}^m a_nb_n\right| \leq M_k a_3=\frac{M_k}{\log^k 3}.
$$
Si reemplazamos $3$ cualquier $n_0\geq 3$, esta obligado de $B_m$ junto con Dirichlet de la prueba también puede ser utilizado para demostrar (1) en el Lema.
Por la reducción de la potencia de la fórmula para el seno o la fórmula de Euler aplicado a $\sin^k n$, $\alpha_{jk}$ tal que $|\alpha_{jk}|\le 1$ y
$$
\sin^k n = \left( \frac{e^{en} - e^{-}} {2}\right)^k=\sum_{j=-k}^k \alpha_{jk} e^{ijn}=\alpha_{0} + \sum_{0<|j|\leq k} \alpha_{jk} e^{ijn}.$$
Multiplicando $(-1)^n$ y sumando más de $n$ da
$$
|B_m| = \left|\sum_{n=3}^m (-1)^n\left(\alpha_{0}+ \sum_{0<|j|\le k} \alpha_{jk} e^{ijn}\right)\right|\le 1+ \sum_{0<|j|\le k}\left| \sum_{n=3}^m e^{i(j+\pi )n}\right|$$
$$\le 1+ \sum_{0<|j|\le k} \frac2{|1-e^{i(j+\pi)}|}.
$$
La magnitud de la suma de $j$ sobre el derecho depende de lo cerca que podemos aproximar $j+\pi$ mod $2\pi$ $0$mod $2\pi$. Por el resultado de la irracionalidad de la medida de $\pi$, se obtiene que existe una absoluta constante $C'>0$ con
$$
\frac2{|1-e^{i(j+\pi)}|} \le C' j^7 \ \ \textrm {} 0<|j|\le k.
$$
Por lo tanto, hay una absoluta constante $C>0$ con
$$
|B_m|\leq M_k:= Ck^8.
$$
Ya que la suma de $\sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k-1}}k \frac{Ck^8}{\log^k 3}$ es absolutamente convergente, tenemos (2) y (3) en el Lema. Dado que (1) se verificó, podemos aplicar el lema y la suma converge.
