Por qué usar números complejos para representar la amplitud y fase de la corriente alterna

Question

¿Por qué en los circuitos de CA, las ondas senoidales se representan como un número complejo en forma polar? No entiendo lógicamente desde una perspectiva física por qué hay una parte imaginaria en absoluto. ¿Es puramente desde un punto de vista matemático para hacer más fácil el análisis de circuitos?

Answer 1

En realidad, la motivación es bastante simple.

Cuando tienes un circuito lineal y lo estimulas con solo una frecuencia, donde sea que mires siempre encontrarás esa misma frecuencia, solo cambian la amplitud y la fase de la onda que mides.

Entonces dices, bueno, olvidemos la frecuencia, si hago un seguimiento de la amplitud y la fase de los voltajes y/o corrientes alrededor del circuito, será más que suficiente. Pero, ¿cómo puedes hacer eso? ¿No hay alguna herramienta matemática que te permita hacer un seguimiento de la amplitud y fase? Sí, lo tienes: vectores. Un vector tiene una amplitud, que es su longitud, y una fase, que es el ángulo que forma con el eje x, la dirección ccw es positiva.

Ahora puedes objetar, ok, los vectores son geniales, ¿pero acaso no hay algo más genial? ¿Y por qué necesitamos usar la unidad imaginaria?

La respuesta a la segunda pregunta es fácil: hacer cálculos con vectores es bastante molesto, un fastidio de notación:

$$ \pmatrix{2\\3} + \pmatrix{1\\7} = \pmatrix{3\\10} $$

¡Y eso es solo la suma! Bueno, eso es solo un problema de notación, si elegimos otra base de \$\mathbb{R}^2\$, las cosas pueden ser mejores... Y esta base resulta existir, pero requiere la unidad imaginaria \$j\$. El lío anterior se convierte en: $$ 2 + 3j + 1 + 7j = 3 + 10j $$ Mucho más fácil, ¿verdad?

Ok, pero ¿qué tiene en común un vector imaginario con un voltaje? Bueno, intenta imaginar el plano de Gauss, el eje x es el eje real, el eje y es el imaginario.

Un voltaje puede ser representado por un vector centrado en el origen, su longitud igual al valor del voltaje, su ángulo de inicio igual a la fase. Ahora el truco mágico: comienza a rotar el vector para que su velocidad angular \$\omega\$ corresponda a la frecuencia deseada:

¡Pum. Eso es lo que llamamos un fasor, y ese pequeño es la mejor arma que tienes contra circuitos complicados.

Entonces, ¿por qué son especiales estos fasores? Porque si tomas dos voltajes reales: $$ v_1(t) = V_1 \cos(2\pi f_0t + \theta_1)\\ v_2(t) = V_2 \cos(2\pi f_0t + \theta_2) $$ y quieres sumarlos, resulta que si sumas los fasores correspondientes y luego regresas al dominio real, el resultado es el mismo. Esto no es magia, por supuesto, depende de la afinidad matemática entre los cosinusoides y la exponencial compleja. Solo créeme, o cree esta imagen genial:

Y lo mejor es que todo el análisis de circuitos reales que has estudiado hasta ahora sigue funcionando con fasores e impedancias complejas. Es decir: La ley de Ohm se mantiene con fasores e impedancias complejas, y eso es genial ya que tenemos un montón de herramientas para resolver circuitos que se basan en las leyes de Ohm y Kirchhoff, y aún podemos usarlas.

Con fasores, derivar/integrar también es súper fácil: como sabes, ya que estamos hablando de senos y cosenos todos a la misma frecuencia es solo cuestión de desfase, y eso -sorpresa- es muy claro si utilizas la representación exponencial compleja.

TL;DR: Los sinusoides se representan como vectores giratorios en el plano polar, es prácticamente como detener el tiempo mientras rotan y tomar una foto, es decir, calcular relaciones de fase y amplitud. Solo echa un vistazo a la página de fasor en wikipedia. Y revisa esta otra respuesta más concisa también.

Answer 2

Cita: "¿Es puramente desde un punto de vista matemático para facilitar el análisis de los circuitos?"

No estoy seguro si esta parte de la pregunta fue respondida suficientemente hasta ahora. Por lo tanto: Sí, usar matemáticas complejas para describir señales sinusoidales no tiene una relevancia física directa. Es solo para "facilitar los análisis".

Como ejemplo: Introducir la famosa fórmula de Euler para señales sinusoidales en la serie de Fourier conduce a frecuencias negativas (simétricas a las frecuencias positivas). Por lo tanto, surge la pregunta: ¿Existen las frecuencias negativas en la realidad? ¡La respuesta es NO! Es solo una herramienta matemática útil.

Answer 3

Digamos que tenemos un circuito simple con una fuente de voltaje \$v(t) = Vcos(\omega t + \phi)\$ conectada en serie con una bobina inductiva con inductancia \$L\$. Entonces,

$$ v(t) = Re\{Ve^{j(\omega t + \phi)}\} = L\frac{di}{dt}\\ Re\{Ve^{j(\omega t + \phi)}\}\ dt = L\ di\\ \int Re\{Ve^{j(\omega t + \phi)}\}\ dt = L \int \ di\\ Re\{\int Ve^{j(\omega t + \phi)}\ dt\} = L i(t)\\ Re\{\frac{1}{j\omega}Ve^{j(\omega t + \phi)}\} = Li(t)\\ i(t) = Re\{\frac{1}{j\omega L}Ve^{j\phi}e^{j\omega t}\} $$

¿Qué nos proporciona esto? Bueno, simplemente podemos tratar la bobina como un resistor con valor \$j\omega L\$. Luego podríamos reemplazar \$v(t)\$ con la constante \$v_o = Ve^{j\phi}\$. En este circuito simplificado usamos la ley de Ohm para encontrar \$i_o = \frac{v_o}{R} = \frac{v_o}{j\omega L}\$. Luego, para encontrar el valor actual de \$i(t)\$ simplemente multiplicamos \$i_o\$ por \$e^{j\omega t}\$ y tomamos su parte real. Esto se puede extender a todos los componentes pasivos. Por lo tanto, podemos modelar todas las cantidades alternas con números complejos, simplificando todos los cálculos en el proceso. Luego podemos cambiarlos de vuelta a su forma no compleja cuando sea necesario.

Answer 4

Lo principal a tener en cuenta es que cualquier señal periódica (con algunas restricciones analíticas básicas que aplican en la práctica o aplican en un grado arbitrario si no exactamente) se puede representar como una suma de señales seno y coseno con una frecuencia que es un múltiplo del período de la señal.

Ahora, una vez que sales del reino de la respuesta directa (como resistencias), la energía puede ser almacenada y recuperada. Las bobinas almacenan energía magnética (al aplicar voltaje la corriente solo comienza gradualmente pero continúa cuando el voltaje se descompone), los capacitores almacenan energía eléctrica (al aplicar corriente el voltaje solo comienza gradualmente pero continúa cuando la corriente se descompone), las masas convierten gradualmente la fuerza en impulso, los resortes convierten gradualmente el impulso en fuerza y así sucesivamente.

Muchas formas de energía son básicamente el cuadrado de alguna medida de excitación. Ahora resulta que la suma de los cuadrados del seno y coseno del mismo argumento es 1. Una constante. Por lo tanto, estás muy bien describiendo la conversión periódica de energía utilizando senos y cosenos.

Resulta que el álgebra utilizando senos y cosenos es precaria. Si agregas un término imaginario que representa la forma de energía de tu señal periódica en la que no estás interesado, y desechar cualquier parte imaginaria que quede después de que hayas terminado, las manipulaciones algebraicas se vuelven mucho más directas a costa de que las variables reales sean complejas.

Answer 5

Supongo que estamos de acuerdo en que hay dos piezas de información para representar una señal de CA en cada instante, amplitud y fase, mientras que solo hay amplitud para CC.

No solo en el análisis necesitamos manipular información, sino también en el diseño de circuitos. Los componentes tienen impedancia y afectan las señales de CA. Por lo tanto, al diseñar, necesitamos poder calcular impedancias para diseñar un circuito con propiedades de CA específicas.

Los números complejos son convenientes para representar y calcular tanto las señales de CA como la impedancia. Las dos dimensiones, longitud y ángulo, nos permiten calcular amplitud y fase juntas, y mantenerlas consistentes.