¿Qué tan rápido uno puede mover alrededor de una elipse con aceleración limitada?

Question

Dada una suave curva cerrada curva de $\Gamma$, estoy en busca de su periódico parametrización $\phi : \mathbb{R}\to\Gamma$ tal que

• el segundo derivado $\phi''$ está delimitado por $1$ en la norma: $|\phi''|\le 1$
• el período de $T$ de la parametrización es tan pequeño como sea posible.

El "mundo real" de la motivación es un auto de carreras: establecer el mejor tiempo de vuelta $T$ dado que el coche, la aceleración es limitado.

Pregunta: ¿cuál es la menor $T$ para una elipse con semiaxes $a,b$? (Auto de las pistas de carreras a menudo se ven como una elipse, a pesar de que no son realmente.)

Casos especiales

El caso especial $a=b$, un círculo, es fácil. Suponer que se centra en el origen. A continuación,$|\phi|^2\equiv a^2$. Se diferencian dos veces: $|\phi'|^2+\phi\cdot \phi'' =0$. Este rendimientos $|\phi'|\le \sqrt{|\phi||\phi''|} \le \sqrt{a}$, por lo tanto $$T\ge 2\pi a/\sqrt{a} = 2\pi\sqrt{a}$$ Este límite inferior es alcanzado por $\phi(t) = a(\cos (t/\sqrt{a}), \sin (t/\sqrt{a}))$.

La elipse degenerada, $b=0$, también es fácil de manejar: el coche tiene que parar en los extremos del intervalo $[-a,a]$, y luego tener la plena aceleración hasta el punto medio $0$. Este rendimientos $T=4\sqrt{2a}$, debido a un bucle consta de $4$ segmentos de la constante de aceleración o desaceleración.

En general, el menor período de $T(a,b)$ escalas como $T(\lambda a,\lambda b)=\sqrt{\lambda}T(a,b)$ debido a que la función $\lambda \phi(t/\sqrt{\lambda})$ tiene la misma parte superior de la aceleración como $\phi$.

Answer 1

Los ejes mayor y menor de corte de una elipse en cuatro segmentos congruentes. Será suficiente para encontrar el óptimo de parametrización uno de estos segmentos, para la parametrización puede ser extendido por la simetría. Voy a suponer que la elipse tiene por ecuación $$ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, $$ con $a\geq b$, y de describir una parametrización de$(a,0)$$(0,b)$.

Debido a la curvatura de la elipse disminuye a medida que nos movemos de $(a,0)$$(0,b)$, la óptima configuración de parámetros tiene una descripción concreta: iniciar tan pronto como sea posible, y se acelerará en la medida de lo posible. Más precisamente, el principio a una velocidad tal que la totalidad de la unidad de aceleración debe ser dirigida hacia el interior para permanecer en la pista, y en cada punto, elegir un componente tangencial de la aceleración a ser tan grande como sea posible (teniendo en cuenta el límite total de la aceleración). Voy a dar un argumento de esta parametrización es óptimo en el final de este post.

Voy a utilizar un parámetro de $0\leq w\leq \pi/2$, con un punto en la elipse se escribe como $(a\cos w,b\sin w)$. Escribir $t$ por hora (a partir de $t=0$), $v$ para la velocidad, y $K$ por la curvatura de la elipse. También voy a escribir $s$ para la longitud de arco a lo largo de la elipse. Cada una de estas cantidades es una función de $w$.

Primero un poco de auxiliar de cálculos. Es conveniente introducir la función de $C(w):=\sqrt{a^2\sin^2 w+b^2\cos^2 w}$. Una fórmula para $K$ está dado por $ K(w) = {ab}/{C(w)^3} $. We have $ds/dw=C(w)$. And of course $ds/dt=v$. The inward acceleration needed to stay on the track is $K v^2$, por lo que nuestra tangencial de la aceleración será $$ \frac{dv}{dt}=\sqrt{1-K^2v^4}. $$ Podemos combinar estos ecuación para obtener una ecuación diferencial para $v$: \begin{align*} \frac{dv}{dw}&=\frac{dv}{dt}\left(\frac{ds}{dt}\right)^{-1}\frac{ds}{dw}\\ &=\frac{\sqrt{1-\frac{a^2b^2}{C(w)^6}v^4}}{v}C(w). \end{align*} Esta es una no lineal de primer orden de la ecuación diferencial ordinaria. La condición inicial se ha $K(0)v(0)^2=1$, lo $v(0)=b/\sqrt{a}$. No tengo ninguna razón para creer que existe una solución de forma cerrada. Pero si una solución de $v(w)$ se encuentra numéricamente, entonces el período de $T$ puede ser calculada como $$ T=4\int_0^{\pi/2}\frac{ds}{v}=4\int_0^{\pi/2}\frac{C(w)}{v(w)}dw. $$

Prueba de optimalidad: Escribir $s_1$ para nuestros función de la velocidad, ya que suponga $s_2$ es la función de velocidad de algunos otros parametrización. Por la forma en que elegimos aceleración, tenemos $s_1'>s_2'$ en cada punto donde $s_2>s_1$. Así, en particular, en el punto donde se $s_2-s_1$ está maximizada, tenemos $s_1'=s_2'$, y por lo $s_2\leq s_1$ en ese punto. Así, no hay ninguna parametrización que es más rápido en cualquier punto de la elipse que el que se describe, así, la nuestra da el mínimo periodo de tiempo.

Answer 2

Veo que el problema de la siguiente manera. Para una elipse con semi-mayor/menor ejes $(A,B)$, la trayectoria se parametriza en el plano complejo como

$$z=A\cos(t/\sqrt{a})+iB\sin(t/\sqrt{a})$$

Aquí, $a$ debe tener las dimensiones [$\text{t}^2$], y, por supuesto, $(A,B)$ son [L].

La velocidad y la aceleración está dada por

$$ v=\dot z=\frac{1}{\sqrt{a}}\left [- \sin(t/\sqrt{a})+B\cos(t/\sqrt{a})\right],\quad \text{[L/t]}\\ \dot v=\ddot z=\frac{1}{a}\left[-A\cos(t/\sqrt{a})-B\sin(t/\sqrt{a})\right]=-\frac{z}{a},\quad \text{[L/t$^2$]}\\ $$

Y por último, la instantánea de longitud de arco, si es necesario, está dada por

$$s=\int_0^t |\dot z|~dt=\frac{B}{\sqrt{a}}\int_0^t \sqrt{C\sin^2(t/\sqrt{a})+1}~dt,\quad C=\left(\frac{A^2-B^2}{B^2}\right)\\$$

La integral es una incompleta de la función elíptica de segunda especie.

Esto debería ser suficiente para completar su tarea.