Rudin: Análisis Real y complejo [Lusin ' teorema s]

Question

He comprobado las preguntas relativas a la Lusin del teorema en este sitio, pero no tuvo la respuesta que yo estaba buscando. Pero como estoy recorriendo cuidadosamente Rudin el Capítulo 2, ha sido un reto para mí. Para cualquiera de ustedes que tenga el libro en la mano, me gustaría plantear esta pregunta. Estoy un poco confundida en dos partes en el teorema, pero todo lo largo de la prueba parece bien a mí.

En la página 55 de Rudin, en el primer párrafo de la prueba sección, le dice a adjuntar una secuencia $\{s_n\}$$f$, como en la prueba del Teorema $1.17$, y poner $t_1 = s_1$$t_n = s_n - s_{n-1}$$n \geq 2$. Luego concluye que $2^nt_n$ es la función característica de un conjunto $T_n \subset A$.

Mi pregunta es que cuando dice adjuntar $\{s_n\}$ $f$como en 1.17, qué quiere decir $s_n = \phi_n \circ f$ como se indica en 1.17? Como yo estaba tratando de averiguar cómo $2^nt_n$ es la función característica de un conjunto $T_n \subset A$, me fue imposible. Por $T_n$ qué significa el conjunto de puntos que pertenecen a la gama de $t_n$? Por lo que yo sé de 1.17, $s_n$ es sólo el paso de la función que se aproxime a $f(x) = x$, pero, como he tratado de diferentes ejemplos de $t_n$, yo realmente no sé cómo Rudin consigue $2^nt_n$ como el char. la función de $T_n$. Si alguien puede aclarar esto, me gustaría apreciar esto.

Una cosa más. En el tercer párrafo de la prueba sección, dice: "Desde $2^{-n}h_n(x) = t_n(x)$ excepto en $V_n - K_n$", cómo había llegado a esta conclusión?

Gracias de nuevo.

Answer 1

Sí, él quiere decir $s_n = \varphi_n \circ f$. El valor de $s_n(x)$ es (por construcción) obtenido por redondeo $f(x)$ hasta el múltiplo más cercano de $2^{-n}$ (y truncar los valores superiores a $n$$n$, pero esto no es de interés aquí, ya que se supone $0 \le f < 1$). Para cada punto de $x$, los valores de $s_{n-1}(x)$$s_n(x)$, por lo tanto, iguales o diferentes por $2^{-n}$. En otras palabras, la función de $t_n$ sólo toma los valores de $0$$2^{-n}$, por lo que la función de $2^n t_n$ sólo toma los valores de $0$$1$. En los puntos donde la $t_n(x)=1$ conforman el conjunto de $T_n$ (por definición).

Como para $h_n(x)$, esto es (por construcción) igual a $1$ $x$ $K_n$ e igual a $0$ $x$ fuera de $V_n$, y lo mismo vale para los $2^n t_n(x)$ desde $K_n \subset T_n \subset V_n$. Por lo tanto, los únicos puntos donde $h_n(x)$ podrían diferir de las $2^n t_n(x)$ mentira en $V_n$, pero no en $K_n$.