Ejercicio de Eisenbud y Harris ' s la geometría de los sistemas de

Question

Acabo de empezar a aprender acerca de los esquemas, por lo que tal vez me estoy perdiendo algo básico.

Este es el ejercicio de la I-24(a):

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Tomar Z = Spec$\mathbb{C}[x]$, vamos a $X$ ser el resultado de la identificación de los dos puntos cercanos (x) y (x-1) de |Z|, y deje $\phi: Z \to X$ ser la natural proyección. Deje $\mathcal{O}$$\phi_* \mathcal{O}_Z$, un haz de anillos en $X$. Mostrar que $(X, \mathcal{O})$ satisface la condición (i) anterior para todos los elementos de la $f \in \mathcal{O}(X) = \mathbb{C}[x]$.

La condición (i) se refiere a: Para cualquier $f \in \mathbb{C}[x]$ definir $U_f \subset X$ como el conjunto de puntos de $x \in X$ tal que $f$ se asigna a una unidad de la palanca $\mathcal{O}_x$. (i) significa que el $\mathcal{O}(U_f) = \mathbb{C}[x][f^{-1}]$ para todos los f.

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Pero, ¿cómo puede ser esto? Poner f = x. Entonces

$U_f = X \setminus \{(x)\}$

$\phi^{-1}(U_f) = Z \setminus \{ (x), (x-1) \}$

$\mathcal{O}(U_f) = \mathcal{O}_Z(\phi^{-1}(U_f)) = \mathbb{C}[x][ ((x)(x-1))^{-1} ]$.

Y eso no es $\mathbb{C}[x][f^{-1}]$.

Edit: con Respecto a la respuesta y comentarios.

evgeniamerkulova la respuesta me tranquiliza que no estoy fuera de mi mente, pero, obviamente, Matt E y Mariano saber de qué están hablando, así que no sé qué pensar.

Tanto Mariano y Matt E implica que $\mathcal{O}(X)$ no $\mathbb{C}[x]$, pero que parece evidentemente mal (y contradice el libro en sí).

He aquí mi razonamiento, explicó. S(X) es C[x]. Esto es debido a que $\mathcal{O}_Z(\phi^{-1}(X)) = \mathcal{O}_Z(Z) = \mathbb{C}[x]$. En orden para que la condición de estar satisfechos, tenemos $\mathcal{O}(U) = \mathbb{C}[x,x^{-1}]$ para un abierto U en X. por Lo tanto necesitamos $\mathcal{O}_Z(\phi^{-1}(U)) = \mathbb{C}[x,x^{-1}]$. Para que eso suceda necesitamos $\phi^{-1}(U) = Z \setminus \{ (x) \}$. Pero todo el inverso de imágenes de conjuntos en X cualquiera de los dos (x) y (x-1) o ninguno de ellos, así que esto no puede ocurrir nunca.

Answer 1

Todo lo que usted dice es correcto y Eisenbud y Harris son falsas. Yo no inderstand Matt E ' comentarios ya sea porque no se hizo ningún error:

a) Que "x" no es la función en $X$ no tiene nada que ver con el problema, y usted nunca dijo que era de la función.

b) escribe "Para calcular correctamente en $X$, usted tiene que averiguar lo $\mathcal O(X)$" : se ha calculado que es $\mathbb C[x]$ y que están a la derecha.

La integridad de la paja $\mathcal O_a$ $\mathcal O$ en el cociente punto de $a\in X$ correspondiente a $0,1$ [escribir x, pero no puede, porque x es ya polinomio] es el anillo de $S \subset \mathbb C(x)$ de todas las fracciones $f(x)/g(x)$ ($f(x), g(x) \in \mathbb C [x])$) tal que $g(0)\neq 0$ $ g(1)\neq 0$