¿Regla de la cadena del cálculo como una propiedad de grupo?

Question

He leído que la regla de la cadena y el teorema de la función inversa son expresiones de la propiedad de grupo de sucesivas no singular transformaciones.

¿Cómo se puede decir esto de manera más formal?

Mi conjetura es que nos están diciendo algo así como "la acción de una derivación en el álgebra de funciones diferenciables es invariante bajo la acción del grupo de no-singular transformaciones en el álgebra'? ¿Cómo limpiar esto y quizás ilustrar con un ejemplo?

El citado pasaje menciona el teorema de la función implícita demasiado, yo no veo esto como directamente relacionadas con un grupo de transformaciones de coordenadas (aunque es equivalente al teorema de la función inversa), tal vez es hablar acerca de otro grupo de la propiedad?

Son otros de los teoremas de cálculo como el valor medio teorema o multiplicadores de Lagrange hablando de las propiedades del grupo?

Por ejemplo, los Jóvenes del teorema parece ser acerca de la acción de uno de los grupos de parámetros en una función que es conmutativa, aunque no sé cómo decir esto de una manera mejor.

También la definición de una convexidad parece que proviene de la acción de un grupo afín en una función de v. s. es de las coordenadas, es decir, del colector es positivo o negativo?

Alguna ayuda? :D

Answer 1

Las declaraciones en el libro no son muy precisa o correcta.

En la primera declaración, por "no-Euclidiana espacios" el autor se refiere a que el diferencial de colectores que no están abiertos los subconjuntos de a $\mathbb{R}^n$, no la geometría no Euclidiana de la curva de Riemann colectores.

La regla de la cadena es que la diferencial de una función de composición es la composición de los diferenciales. Este no es un grupo de la propiedad como el autor dice, ya que las diferencias no tienen que ser invertible por la regla de la cadena para sujetar.

En la segunda declaración, el teorema de la función inversa no es una propiedad de grupo. La función puede ser a partir de un colector para otro, así que hay un grupooid no de un grupo (para el invertible funciones). Y la existencia de la declaración en el teorema no es formal consecuencia de cualquier estructura de grupo, es más como la solución de una ecuación diferencial para ir de un lineal inversa de la función del diferencial, para un total de la composición de la inversa de la función en un barrio de una nonsingular punto.