Grupos fundamentales

Question

Necesito calcular los grupos fundamentales de los siguientes espacios:

$X_1 = \{ (x, y, z) \in \mathbb{R}^3 | x \neq 0\} $

$X_2 = \mathbb{R}^3 \backslash \{ (x, y, z) | x = 0, y = 0, 0 \leq z \leq 1 \}$

$X_3 = \mathbb{R}^3 \backslash \{ (x, y, z) | x= 0, 0 \leq y \leq 1 \} $

No estoy seguro en absoluto cómo se calcular éstos. Creo que el $X_1$ sigue siendo un espacio convexo, por lo que el grupo fundamental podría ser {1} pero realmente no estoy seguro... Necesito calcular los grupos fundamentales de los siguientes espacios:

Answer 1

Intentar dibujar los espacios - la respuesta debe ser "evidente" de los dibujos.

$X_1$ es sólo $\mathbb{R}^3$ cortado en dos por un avión. Cada parte es convexa. Los bucles están conectados, por lo que se encuentran en exactamente que una de las partes, y por lo tanto puede ser contratado a un punto. Por lo $\pi_1(X_1)=0$.

$X_2$ es sólo $\mathbb{R}^3$ con una longitud finita de la línea de eliminar, por lo $X_2$ deformación se retrae a $\mathbb{R^3}\backslash \{0\}$, lo que ha trivial $\pi_1$. Esto es debido a que $\mathbb{R}^3\backslash \{ 0\} \cong S^2 \times \mathbb{R}$ y, por tanto,$\pi_1(X_2) \cong \pi_1(\mathbb{R}\times S^2) \cong 0$.

$X_3$ deformación se retrae a$\mathbb{R}^3$, con una línea quitado. Ahora intuición le dice que esta debe tener fundamentales del grupo isomorfo a $\mathbb{Z}$.

(y creo que usted debería ser capaz de encontrar una deformación retractarse de $\mathbb{R}^3 \backslash \{\text{a line}\}$$\mathbb{R}^2\backslash \{ 0\}$, que tiene grupo fundamental de la $\mathbb{Z}$.)