Describir todas las matrices similares para una cierta matriz.

Question

Matemáticas personas:

He asignado a este problema como tarea a mis alumnos (de Strang, "Álgebra Lineal y sus Aplicaciones", 4ª edición):

Describir en palabras todas las matrices que son similares a $$\begin{bmatrix}1& 0\\ 0& -1\end{bmatrix}$$ y encontrar a dos de ellos.

Las matrices cuadradas $A$ $B$ están definidos para ser "similares" si existe cuadrada invertible $M$ $A = M^{-1}BM$ (o viceversa, ya que esta es una relación de equivalencia). La respuesta al problema no está en el texto, y estoy avergonzado de admitir que estoy teniendo problemas para resolver. El problema parecía fácil cuando vi por primera vez.

La matriz dada induce a una reflexión en el $x_2$-coordinar, pero no veo la manera de la geometría de la ayuda. Una similar de la matriz tiene que tener los mismos valores propios, traza y determinante, por lo que su seguimiento es $0$ y su determinante es $-1$. Pasé una buena cantidad de tiempo, con poco progreso, y puedo pasar mi tiempo de manera más productiva. Este problema es el #2 en el conjunto de problemas, lo que sugiere que tal vez no es una solución fácil.

Yo me conformaría una pista que me lleva a una solución.

EDIT: Gracias a Thomas (?) para la representación de mi matriz en $\LaTeX$.

Stefan (Intercambio de la Pila del VENTILADOR)

Answer 1

Si la matriz es $$\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}$$ then you know that $a+d=0$ and $ad-bc=-1$. So $d=-a$, and we have that $-a^2-bc = -1 $ or $ a ^ 2 + bc = 1$.

Esto es exactamente todos ellos. Basta con encontrar los vectores propios de estas matrices encontrar el $M$.

Si $a\neq 1$ y $a^2+bc=1$ entonces nos podemos fijar $$M^{-1}=\begin{bmatrix}b&a-1\\1-a&c\end{bmatrix}$ $

Entonces $$M=\frac 1{2-2a}\begin{bmatrix}c&a-1\\1-a&b\end{bmatrix}$ $

Ahora a hacer el cálculo para mostrar que la matriz $$M^{-1}\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}M =\begin{bmatrix}a&b\\c&-a\end{bmatrix}$ $

Cuando $a=1$, tienes que usar un % diferente $M$.

Answer 2

Hacer una foto, su matriz refleja el $e_2$ vector y no cambia nada en el $e_1$ vector. La matriz es ortogonal en la de grupo, pero no en el especial ortogonal grupo. Demostrar que toda matriz $$\begin{pmatrix} \cos(\alpha) & \sin(\alpha) \\ \sin(\alpha) & -\cos(\alpha)\\ \end{pmatrix} $$ hacer de la misma.

Esos son los mejores de la matriz que puede suceder, pero hay algunos más (las matrices aparecen al $M$ sí está en el grupo ortogonal.

Al $M$ no está en el grupo ortogonal todavía no cambiar los valores propios (no estoy seguro de si ya sabes lo que autovalores son), $\lambda$ es un valor propio a un vector $v\neq 0$ si $$ A \cdot v=\lambda v$$ lo que significa que el vector es sólo aumentó o se hace más pequeño a través de la matriz, pero no gira o algo así. Como $A$ tiene los autovalores $1$ $-1$ siempre encontrarás vectores $v_1,v_2$ tal que $$ B \cdot v_1= v_1$$ y $$ B\cdot v_2= -v_2.$$

Así que esas matrices no voy a cambiar de un vector y el otro es "dio la vuelta".

Los vectores propios de la matriz: $$ \begin{pmatrix} a & b \\c & d \\ \end{pmatrix}^{-1}\cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1\\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a & b \\c & d \\ \end{pmatrix}$$ son $$\begin{pmatrix} \frac{a}{c} \\ 1 \end{pmatrix} \qquad \begin{pmatrix} \frac{b}{d} \\1 \end{pmatrix} $$ al $c$ $d$ no son cero,

Answer 3

La pregunta dice "describir en palabras", así que creo que una respuesta sin mucho fórmulas está en su lugar. Los conjugados de esta matriz será, precisamente, los $2\times2$ matrices con valores propios $+1$$-1$, en otras palabras, los que fijan los múltiplos escalares de un vector distinto de cero, y niega los múltiplos escalares de otro (necesariamente linealmente independientes) del vector. Otra descripción es cualquier matriz de una involución (es decir, con la plaza de la identidad) otras que más o menos la identidad (ya que el polinomio mínimo $X^2-1$ se divide con una simple raíces, involuciones son siempre diagonalisable (excepto en el carácter $2$)).