He visto esta pregunta muchas veces como un ejemplo de provocar la creatividad. Me pregunto cuántas maneras existen para evaluar $\sqrt{e}$ con la mayor precisión posible.
La manera más obvia que se me ocurre es usar expansión de Taylor.
Gracias
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
He encontrado esta serie representación de $e$ en Wolfram Mathworld: $$ e=\left(\sum_{k=0}^\infty\frac{4k+3}{2^{2k+1}(2k+1)!}\right)^2. $$ Por lo tanto $$ \sqrt{e}=\sum_{k=0}^\infty\frac{4k+3}{2^{2k+1}(2k+1)!}. $$ También de la serie de Maclaurin para la función exponencial $$ e^{\large\frac{1}{2}}=\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{2^n n!}. $$
Michael Hardy
Puntos
128804
CodingBytes
Puntos
102
Alex
Puntos
11160
Cómo exactamente para qué lo necesita? Una opción es utilizar el binomio de expansión: $$ e^{\frac{1}{2}} \approx \Big(1+\frac{1}{n}\Big)^{\frac{n}{2}}=\sum_{k=0}^{\frac{n}{2}}\binom{\frac{n}{2}}{k}\frac{1}{n^k} $$ que se puede hacer arbitrariamente cerca de $e^{\frac{1}{2}}$ para los distintos valores de $n$.
Philip Fourie
Puntos
12889
Como una alternativa a la serie basada en los métodos, hay ecuación diferencial basado en métodos que puede utilizar.
Si reconocemos que la $y=e^x$ es la solución a $y'=y$$y(0)=1$, y el uso de métodos de Runge-Kutta con un pequeño tamaño de paso aproximado $y(1/2)$.
En este caso, con un solo paso (el uso de $h=1/2$ en el enlace), obtenemos $e^{1/2}\approx1.6484375\ldots$, en comparación con el valor real de $e^{1/2}=1.64872127\ldots$.
Con dos pasos, el uso de $h=1/4$, obtenemos $1.648699\ldots$.
Con tres pasos, en el uso de $h=1/6$, obtenemos $1.648716\ldots$.
Con cuatro pasos, el uso de $h=1/8$, obtenemos $1.648716\ldots$.
Con cuatro pasos, el uso de $h=1/8$, obtenemos $1.648719\ldots$.
En honor a la verdad, cada "uno" de paso en Runga-Kutta aplica a esta situación requieren aproximadamente siete multiplicaciones. Y puesto que el tamaño de paso debe ser decidido desde el principio, usted no tiene la capacidad para refinar su resultado como se puede hacer con la serie, añadiendo más términos. En el otro lado de una ecuación diferencial basado en el método puede dar una mayor precisión en el intercambio por menos de computación en muchos casos.
