Secuencia divergente donde $\lim_{n\to\infty}(a_{n+p}-a_n) = 0 $

Question

Necesito mostrar que $(a_n)=\sin(\ln n)$ es un almacén de secuencia que no tiene límite, pero para los que se $$\lim_{n\to\infty}(a_{n+p}-a_n )= 0\; \forall p \in \mathbb N.$$ Me puede mostrar que la sucesión está acotada y que diverge, pero estoy atascado con la otra parte. Hasta ahora me he encontrado con que $\lim_{n\to\infty} (\ln (n+p)-\ln n) = 0$, pero realmente no sé a dónde ir. La manera fácil de obtener los senos en sería, por supuesto, $$ \lim\ln(n+p)-\lim\ln n = 0 \Leftrightarrow \lim\sin(\ln(n+p))-\lim\sin(\ln n)=0 \Leftrightarrow \lim(\sin (\ln (n+p)) - \sin (\ln n)) = 0,$$ pero como tanto el $\sin x$ $\ln x$ divergen, no estoy seguro de que estaría bien.

Así que estoy en cualquier lugar cerca de la dirección correcta o debo intentar un enfoque diferente?

Answer 1

ps

Answer 2

% Permiten fijar $\varepsilon>0$y $p\geq 1$. $\sin(x)$ Es una función uniformemente continua, dado que $\varepsilon>0$ hay un $\delta>0$ tal eso si $|x-y|<\delta$ y $|\sin(x)-\sin(y)|<\varepsilon$. Desde $\ln(n+p) - \ln n = \ln (\frac{n+p}{n}) \to 0$ $n\to \infty$, hay un número $N=N(p)$ tal eso si $n\geq N$ y $|\ln(n+p)-\ln n|<\delta$. Ahora toma $x=\ln(n+p)$ y $y=\ln n$. Concluimos que:

• Fijarse que $p\geq 1$. Para cualquier $\varepsilon>0$ allí es un número $N=N(p,\varepsilon)$ tal que % $ $$|a_{n+p}-a_n|=|\sin(\ln(n+p))-\sin(\ln n)|<\varepsilon.$

Así, la definición de límite, hemos demostrado que $\lim_{n\to \infty} (a_{n+p}-a_n) = 0$, como se desee.