Si la ecuación $(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)(x-e)(x-f)(x-g) = hx$ tiene siete raíces enteras positivas, y $a,b,c,d,e,f,g,h$ también son enteros positivos, ¿cómo podemos encontrarlos?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Según Shen Chuwen Productos iguales y sumas iguales de potencias iguales Esta es la única solución conocida desde el año 2001:
$$(x - 666) (x - 663) (x - 616) (x - 595) (x - 558) (x - 497) (x - 480) - 1327233600 x \\ = (x - 672) (x - 651) (x - 630) (x - 578) (x - 568) (x - 495) (x - 481).$$
Una estrategia para encontrarlas sería buscar soluciones parciales de Prouhet-Tarry-Escott en 7 variables que funcionen sólo hasta $5$ potencia, lo que da $\prod_{i=1}^7 (x-a_i) - \prod_{i=1}^7 (x-b_i) = Cx + D$ para algunas constantes enteras $C,D$ con $C \ne 0$ . A continuación, aplique la sustitución $x = y-D/C$ para borrar el coeficiente constante $D$ , reescalar para despejar los denominadores y posiblemente los signos negativos, y ¡voilà!
Lo principal que puede salir mal es que $D/C$ se encuentra en el intervalo más pequeño que contiene todos los $a_i$ y $b_i$ que hace que el resultado final contenga enteros no positivos.
