¿Existe una base ortonómica completa de un espacio de Hilbert que tome valores positivos en un conjunto discreto?

Question

¿Existe una base ortonormal completa $\{f_n\}$ (de funciones continuas) del espacio de Hilbert de funciones cuadradas integrables sobre $[0,\,\infty)$ para el que existe un conjunto contable $S\subset [0,\,\infty)$ tal que $\forall x \in S$ tenemos $f_n(x)\geq 0,\, \forall n?$

¿O alguien podría indicarme un documento sobre un tema similar?

Gracias de antemano.

Answer 1

Dado que dos funciones son iguales, hasta un conjunto de medida cero, siempre se puede hacer esto. Tome cualquier base ortonormal y un conjunto discreto. Asignar un valor positivo a las funciones de base en cada punto del conjunto discreto. Ya hemos terminado. ¿Lo he hecho bien? Corrígeme si es incorrecto.