Una pregunta sobre el teorema de Borsuk-Ulam

Question

No entiendo el paso de Borsuk-Ulam teorema, que me marcados con un asterisco a continuación.

$\underline{Borsuk-Ulam}$: Si $f:S^2\rightarrow\mathbb R^2$ continuo,$\exists x$, s.t. $f(x)=f(-x)$

de acuerdo a la prueba(por contradicción):

Suponga que no hay tal $x$, y luego definir

$g:S^2\rightarrow\mathbb R^2$,$\quad$$g(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{||f(x)-f(-x)||}$

$c:[0,1]\rightarrow S^2$,$\quad$$c(s)=(\cos(s), \sin(s),0)$

deje $h:=g\circ c$ $\bar h$ su sustentación. A continuación,

$\bar h(s+\frac{1}{2})=\bar h(s)+\frac{m}{2}$, $\quad$$m\in 2\mathbb Z+1$

$\star$$(\bar h(1)=\bar h(\frac{1}{2})+\frac{m}{2}=\bar h(0)+m\overset{\textbf{WHY}}=m)\overset{\textbf{WHY}}\Longrightarrow$ $h$ no es nullhomotopic.

El resto es clara, puesto que $c$ es nullhomotopic, $h$ es también nullhomotopic y llegamos a una contradicción.

Answer 1

Bien, has dejado un poco de la lógica aquí. Suponemos que no hay tal $x$, y luego construir la extraña función de $g\colon S^2\to S^1$. Luego se restringe a un extraño función en el ecuador, y la rareza da la línea de arriba de la estrella. La primera de igualdad que se han etiquetado con un "por QUÉ" no es necesariamente válida, ya que no sabemos que $g(1,0,0)=(1,0)$. Pero, independientemente, básica de cubrir el espacio de la teoría nos dice que $h\colon S^1\to S^1$ es nullhomotopic si y sólo si $\overline h(1) = \overline h(0)$. De hecho, si $\overline h(1) - \overline h(0)=m\in\Bbb Z$, esto nos indica que el $[h] = m\in\pi_1(S^1)\cong\Bbb Z$.

Answer 2

Necesitamos el siguiente teorema. Se puede encontrar en Munkres o deducida de Hatcher prueba de que el grupo fundamental de la $\pi_1(S^1) \cong \mathbb Z$.

Teorema 1: Lef $p : E \to B$ una cubierta mapa; deje $p(e_0) = b_0$. Deje $f$ $g$ dos caminos en $B$$b_0$$b_1$; deje $\tilde f$ $\tilde g$ ser sus respectivas elevaciones de las rutas en $E$ inicio en $e_0$. Si $f$ $g$ ruta homotópica, a continuación, $\tilde f$ $\tilde g$ terminan en el mismo punto de $E$ y de ruta homotópica.

Prueba: Ver Munkres Teorema De 54.3.

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Lema 2: Deje $f$ ser un bucle en $X$. Si $f$ es nullhomotopic, entonces existe un nullhomotopy de $f$ que es un camino homotopy.

Prueba: Supongamos $f : I \to X$ ser un bucle basado en $x_0$. Deje $a = h(1) = h(0)$. Supongamos $f$ es nullhomotopic, entonces existe un homotopy $H : I \times I \to X$ tal que $H(s, 0) = f(s)$ $H(s, 1) = e_c(s) = c$ donde $c \in X$.

Definir $\alpha_t : I \to X$ $\alpha_t(s) = H(0, ts)$ y tenga en cuenta que este es un camino de$\alpha_t(0) = H(0, 0) = f(0) = a$$\alpha_t(1) = H(0, t)$.

Definir $\beta : I \to X$ $\beta_t(s) = H(1, t - ts)$ y tenga en cuenta que este es un camino de$\beta_t(0) = H(1, t)$$\beta_t(1) = H(1, 0) = f(1) = a$.

Definir $h_t : I \to X$ $h_t(s) = H(s, t)$ y tenga en cuenta que este es un camino de$h_t(0) = H(0, t)$$h_t(1) = H(1, t)$.

Por lo tanto, hemos establecido que el siguiente es bien definido: $\alpha_t * h_t * \beta_t$ es un bucle basado en $a$ todos los $t \in I$. Si definimos $F : I \times I \to X$$F(s, t) = (\alpha_t * h_t * \beta_t)(s)$, entonces es un camino homotopy entre el $f$ y el constante mapa en $a$.

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Lema 3: Deje $p : E \to B$ una cubierta mapa. El levantamiento de una constante mapa es constante.

Prueba: Supongamos $f : I \to B$ ser un camino constante en $B$ y deje $\tilde f$ es el levantamiento de $B$ $E$través $p$. Es decir, $\tilde f : I \to E$ tal que $p \circ \tilde f = f$.

Desde $f$ es constante $\tilde f : I \to \pi^{-1}(c)$ donde $f(s) = c$ todos los $s \in I$. Por la propiedad de cubrir los mapas, $\pi^{-1}(c)$ es discreto. Desde $I$ está conectado y $\pi^{-1}(c)$ es discreto, y un mapa continuo de la conexión de un espacio para un espacio discreto debe ser constante, $\tilde f$ es constante.

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Ahora nos fijamos en su $\star$ línea de:

Observar que $$\tilde h(1) = \tilde h \bigg( \frac12 + \frac12 \bigg) = \tilde h \bigg( \frac12 \bigg) + \frac{q}{2} = \tilde h \bigg(0 + \frac12 \bigg) + \frac{q}{2} = \tilde h(0) + q$$ and $$h(1) = h\bigg( \frac12 + \frac12 \bigg) = -h\bigg( \frac12\bigg) = -h\bigg(0 + \frac12\bigg) = h(0)$$ and so $h$ is a loop at basepoint $h(0) = h(1)$.

Supongamos, por medio de la contradicción, que $h$ es nullhomotopic, entonces existe un homotopy $H : I \times I \to S^1$ $h$ y el constante mapa en $c$, $e_c$, para algunos $c \in S^1$.

Por el Lema 1 , podemos suponer, sin pérdida de generalidad, que el $H$ es un camino-homotopy en cuyo caso $c$ es el punto de referencia $h$.

Desde $e_c$ es constante, por el Lema 3 se trata de levantar, a partir de a $\tilde h(0)$, es constante.

Desde $f$ $e_c$ ruta homotópica, por el Teorema 1, $\tilde f$ $\tilde e_c$ tienen el mismo final puntos, lo que significa que $\tilde h(0) = \tilde e_c(0) = \tilde e_c(1) = \tilde h(1)$, lo que implica que $q = 0$, una contradicción a $q$ impar. A la conclusión de que $h$ no es nullhomotopic.