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Integral trigonométricas sustitución

Estoy tratando de encontrar a $$\int{ \frac {5x + 1}{x^2 + 4} dx}$$ El mejor enfoque sería la división de la fracción. Según Wolfram Alpha, la respuesta es $\frac{5}{2}\ln\left(x^2 + 4\right) + \frac{1}{2}\displaystyle\arctan\left(\frac x2\right)$, lo que parece OK, pero cuando intento la trigonométricas sustitución: $x = 2\tan\theta$, recibo una respuesta que es ligeramente diferente, pero no equivalente, y he visto esto una y otra vez y yo no podía entender lo que me hizo mal.

$$x = 2\tan\theta$$ $$dx = 2sec^2\theta d\theta$$ $$\int{ \frac {5x + 1}{x^2 + 4}dx} = \frac{1}{4}\int{\frac{10\tan\theta + 1}{sec^2\theta} 2sec^2\theta d\theta}$$ $$ = \frac{1}{2}\int{10 \tan\theta + 1}\space d\theta$$ $$ = 5 \ln|\sec\theta| + \frac{\theta}{2} + C$$ Sabemos $\theta = \displaystyle\arctan\left(\frac x2\right)$ y desde $\tan\theta = \displaystyle\frac{x}{2}$, se puede dibujar un triángulo para ver que $\sec\theta = \displaystyle\frac{\sqrt{x^2 + 4}}{2}$.

$$5 \ln|\sec\theta| + \frac{\theta}{2} = 5\ln\left({\frac{\sqrt{x^2 + 4}}{2}}\right) + \frac{1}{2}\arctan\left({\frac x2}\right) $$ $$= \frac{5}{2}\ln\left({\frac{x^2 + 4}{4}}\right) + \frac{1}{2}\arctan\left({\frac x2}\right)$$

Pero $$\frac{5}{2}\ln\left({\frac{x^2 + 4}{4}}\right) + \frac{1}{2}\arctan\left({\frac x2}\right) \neq \frac{5}{2}\ln\left(x^2 + 4\right) + \frac{1}{2}\arctan\left(\frac x2\right)$$

Parece ser que hay una pequeña diferencia entre la respuesta proporcionada por el Alfa y el método de sustitución trigonométrica, pero no veo donde he cometido el error.

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Drew Jolesch Puntos 11

$$\frac{5}{2}\ln({\frac{x^2 + 4}{4}}) + \frac{1}{2}\arctan({x/2}) + c_1 \neq \frac{5}{2}\ln(x^2 + 4) + \frac{1}{2}\arctan(x/2) + C$$

Tenga en cuenta % $ $$\frac{5}{2}\ln\left({\frac{x^2 + 4}{4}}\right) = \frac 52 \ln\left(x^2 + 4\right) - \frac 52 \left (\ln 4\right) = \frac 52 \ln(x^2 + 4) + c_2$

Así que poner $c_1 + c_2 = C$. A continuación, las respuestas son iguales. Soluciones para una integral consiste en una familia de soluciones $F(x) + C$, que diferencian solamente por una constante. Es decir, si $F(x) + C$ es la solución después de una integral de computación, así que es $F(x) + C_i$, para cualquier constante $C_i \neq C$.

¡En Resumen, eres tanto correcto!

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Alex Puntos 11160

El primer método es el más fácil, de hecho: $$ I= \int \frac{(5x +1)dx}{x^2+4}=I_1 + I_2 $$ donde $$ I_1 = \int\frac{5x dx}{x^2+4}\\ I_2 = \int \frac{dx}{x^2+4} $$ por lo tanto, $$ I_1 = \frac{5}{2} \int \frac{2xdx}{x^2+4} = \frac{5}{2} \int \frac{d(x^2+4)} {x^2+4}=\frac{5}{2} \log( x^2 +4) +C_1 $$ De hecho se puede ver que el numerador es la derivada del denominador. $$ I_2 = \int \frac{dx}{x^2+ 2^2} = \frac{\arctan(\frac{x}{a})}{a} +C_2 $$ Este enfoque es más eficiente, ya que no requiere que usted para hacer sustituciones/

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David Moews Puntos 11543

Desde $ \frac52 \ln (\frac{x^2+4}{4})=\frac52 \ln(x^2+4)-\frac52 \ln 4, $$ la diferencia entre las dos respuestas es una constante aditiva, que puede ser absorbida por la constante de integración $C$.

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