Estoy tratando de encontrar a $$\int{ \frac {5x + 1}{x^2 + 4} dx}$$ El mejor enfoque sería la división de la fracción. Según Wolfram Alpha, la respuesta es $\frac{5}{2}\ln\left(x^2 + 4\right) + \frac{1}{2}\displaystyle\arctan\left(\frac x2\right)$, lo que parece OK, pero cuando intento la trigonométricas sustitución: $x = 2\tan\theta$, recibo una respuesta que es ligeramente diferente, pero no equivalente, y he visto esto una y otra vez y yo no podía entender lo que me hizo mal.
$$x = 2\tan\theta$$ $$dx = 2sec^2\theta d\theta$$ $$\int{ \frac {5x + 1}{x^2 + 4}dx} = \frac{1}{4}\int{\frac{10\tan\theta + 1}{sec^2\theta} 2sec^2\theta d\theta}$$ $$ = \frac{1}{2}\int{10 \tan\theta + 1}\space d\theta$$ $$ = 5 \ln|\sec\theta| + \frac{\theta}{2} + C$$ Sabemos $\theta = \displaystyle\arctan\left(\frac x2\right)$ y desde $\tan\theta = \displaystyle\frac{x}{2}$, se puede dibujar un triángulo para ver que $\sec\theta = \displaystyle\frac{\sqrt{x^2 + 4}}{2}$.
$$5 \ln|\sec\theta| + \frac{\theta}{2} = 5\ln\left({\frac{\sqrt{x^2 + 4}}{2}}\right) + \frac{1}{2}\arctan\left({\frac x2}\right) $$ $$= \frac{5}{2}\ln\left({\frac{x^2 + 4}{4}}\right) + \frac{1}{2}\arctan\left({\frac x2}\right)$$
Pero $$\frac{5}{2}\ln\left({\frac{x^2 + 4}{4}}\right) + \frac{1}{2}\arctan\left({\frac x2}\right) \neq \frac{5}{2}\ln\left(x^2 + 4\right) + \frac{1}{2}\arctan\left(\frac x2\right)$$
Parece ser que hay una pequeña diferencia entre la respuesta proporcionada por el Alfa y el método de sustitución trigonométrica, pero no veo donde he cometido el error.