Probar

Question

Si $G, H$ son grupos e $\phi : G \to H$ es un homomorphism, es verdad eso de $G/\ker \phi \times \ker \phi \cong G$?

Estoy bastante seguro de que esto es correcto, pero no puedo recordar cómo demostrarlo.

Podemos pensar de $\phi$ como surjection de $G$ a $G/\ker \phi$, así que tengo que pensar que para $\phi$ no debería ser un surjection $\psi : G \to \ker \phi$, de tal manera que $\psi$ asigna un elemento de $G$ a su "posición" en su coset de $\ker \phi$. Entonces isomorfismo entre el$G$$G/\ker \phi \times \ker \phi$$f(g) = (\phi(g), \psi(g))$.

Para mostrar $f$ es un isomorphim que solo tenemos que mostrar es inyectiva ya que $\phi, \psi$ son tanto surjective. $f(g) = f(g')$ implica $\phi(g) = \phi(g')$ por lo que están en la misma coset de $\ker\phi$ $\psi(g) = \psi(g')$ por lo que están en la misma "posición" en la que coset. Por lo tanto,$g = g'$.

Si mi idea intuitiva de la posición de las obras, aún no estoy seguro de cómo defino $\psi$. Puede alguien me apunte en la dirección correcta?

Answer 1

Esto no es cierto. $\mathbb{Z_4}$ tiene el subgrupo normal $\{0,2\} \cong\mathbb{Z_2}$ % cociente $\mathbb{Z_2}$pero ciertamente no es verdad que el $\mathbb{Z_4} \cong \mathbb{Z_2}\times\mathbb{Z_2}$.