Muestran que $Q^+$ no es isomorfo a $Q^* $.

Question

Sea $Q^+$ del grupo de los números racionales positivos bajo multiplicación.

Que $Q^*$ ser el grupo de todos el número racional de la forma $\frac{p}{q}$, donde ambos $p$ y $q$ son números enteros positivos impares, bajo multiplicación.

Muestran que $Q^+$ no es isomorfo a $Q^*$.

Answer 1

Si $p_1,p_2,\ldots=2,3,\ldots$ es que la secuencia de números primos entonces el $\phi$ $$\begin{eqnarray} \phi(1)&=&1\\ \phi({p_i})&=&p_{i+1},\, \forall i\geq 1 \end{eqnarray} $$ puede ampliarse a un isomorfismo de $Q^+$ $Q^*$. Por lo que son isomorfos.