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Operadores de segunda conjugada y sus representaciones

Podemos pensar en un operador acotado $T\colon c_0\to c_0$ como una matriz doblemente infinita $[T_{mn}]_{m,n\geq 1}$ que actúa sobre una secuencia $a=[a_1, a_2, a_3, \ldots ]\in c_0$ de la misma manera que las matrices habituales (finitas) actúan sobre los vectores ( $n$ -tuplas de escalares), es decir

$$ Ta= [T_{mn}][a_n] = \left[ \sum_{n=1}^\infty T_{mn}a_n\right] $$

Supongamos que $a=[a_1, a_2, a_3, \ldots ]\in \ell^\infty = (c_0)^{**}$ . ¿Sigue siendo válida la siguiente fórmula?

$$ T^{**}a= [T_{mn}][a_n] = \left[ \sum_{n=1}^\infty T_{mn}a_n\right] $$

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Jon Ericson Puntos 9703

En MO, Bill Johnson tiene una respuesta que funciona para cualquier espacio de Banach con una base decreciente. Como nadie ha dado una respuesta aquí todavía, pensé en mostrar un cálculo más "simple" que funciona en el caso especial de $c_0$ .

Obsérvese que la suma $$ \sum_n T_{mn} a_n $$ sólo converge, para todo $(a_n)\in c_0$ Si $\sum_n |T_{mn}|<\infty$ . Pero esto no es suficiente para garantizar que $T$ es un operador acotado en $c_0$ para ello, se necesita precisamente eso $$ \sup_m \sum_n |T_{mn}|<\infty. $$ ( Editar: En realidad, esto sólo garantiza que $T$ se convierte en $\ell^\infty$ . Para $T$ para asignar a $c_0$ necesitamos que las filas de la matriz de $T$ , tratada como una secuencia en $\ell^1$ es débil $^*$ -nula, es decir, que cada columna de la matriz tiende a $0$ .) Esta cantidad es $\|T\|$ . Así que hemos caracterizado qué matrices pueden darse.

Ahora dejemos que $(f_m)\in\ell^1$ Así que $$ \langle (f_m) , T(a_n) \rangle = \sum_m \sum_n f_m T_{mn} a_n. $$ La suma doble es absolutamente convergente, por lo que podemos reordenar, y concluir que $$ T^*(f_m) = \Big[ \sum_m T_{mn} f_m \Big]. $$ Eso es, $T^*$ es la multiplicación matricial por el tranposte de $T$ (¡como es de esperar!)

Así que finalmente para $(x_n)\in\ell^\infty$ , $$ \langle T^{**}(x_n) , (f_m) \rangle = \sum_n x_n \sum_m T_{mn} f_m. $$ De nuevo, la suma doble converge absolutamente como $$ \sum_{n,m} |T_{mn}| |f_m| |x_n| = \sum_m |f_m| \sum_n |T_{mn}| |x_n| \leq \|f\|_1 \sup_m \sum_n |T_{mn}| |x_n| $$ $$\leq \|f\|_1 \sup_m \|x\|_\infty \sum_n |T_{mn}| = \|f\|_1 \|x\|_\infty \|T\|. $$ Así que podemos reordenar y concluir que, sí, $$ T^{**}(x_n) = \Big[ \sum_m T_{mn} x_n \big]. $$ En particular, para los casos de $m$ la secuencia $(T_{mn})$ está en $\ell^1$ y así la suma converge realmente.

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