Mínima dimensión ejemplo de subconjunto (abierto) de $\mathbb{R}^n$ con cohomología primer trivial pero no trivial grupo fundamental

Question

Como seguimiento a esta pregunta, me pregunto cuál es la dimensión proporciona la mínima contraejemplo para las reclamaciones:

1. Si $U\subseteq\mathbb{R}^n$ es una abierta conjunto conectado con trivial $H^1(U)$, $\pi_1(U)$ es trivial;
2. Igual que el anterior, pero con un carácter más general $U$.

Deje $m$ ser el mínimo contraejemplo del ambiente del espacio de la dimensión.

Qiaochu la respuesta a la anterior pregunta vinculada muestra $m\leq 4$, ya que para la reivindicación 2, tenemos $\mathbb{RP}^2$ sin problemas incrustada en $\mathbb{R}^4$, proporcionando el ejemplo directamente, mientras que para la reivindicación 1 tomamos un tubular barrio de la imagen incrustada de $\mathbb{RP}^2$, que luego es abierto y conectado, y la deformación se retrae (supongo que me corrija si estoy equivocado) a $\mathbb{RP}^2$, por lo tanto tener el mismo grupo fundamental y cohomology.

Qiaochu también se indica en un comentario de que el grupo fundamental de un subconjunto abierto de $\mathbb{R}^2$ es libre, lo que he encontrado de la prueba esbozado aquí. También afirmó que el Universal Coeficiente Teorema (de la que hablaré más pronto o más tarde a estudiar para un examen) puede ser usado para demostrar $H^1(U)=1\iff\mathrm{Hom}(\pi_1(U),\mathbb{R})=1$. Estos dos hechos ponen juntos implican $m_1\in\{1,3,4\}$ donde $m_1$ $m$ para la reivindicación 1.

En la dimensión 1, conectado a los subconjuntos de los intervalos, por lo tanto tienen trivial $\pi_1$. Por lo $m_1\in\{2,3,4\}$$m_2\in\{3,4\}$.

Las 3 dimensiones de caso parece tener la reivindicación 1 como un problema abierto, así que me preguntaba si podía conseguir:

1. Una respuesta acerca de 2 dimensiones y la reivindicación 2; supongo que podemos, una vez más, no tome un abrir conjunto conectado en el avión y decir tubular barrios pudiera retractarse sobre el mismo, teniendo el mismo grupo fundamental, por lo tanto concluir por Qiaochu comentario de "no obvio hecho de que" nosotros no tenemos contraejemplos en el avión debido a que todos los grupos son libres; ¿es eso cierto?
2. Algo acerca de las 3 dimensiones de la caja, si es posible para la reivindicación 2, aunque la prhasing de que el comentario sobre el problema parece sugerir que "abrir" hace una diferencia, lo que contrastaría con el tubular barrio de la retracción del argumento.

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En el caso de los comentarios que responder a obtener recortada (son un montón), aquí están las capturas de pantalla 1 y 2.

Answer 1

En el caso abierto conectado subconjuntos $U$ $R^3$, de hecho, no simplemente conectado implica $b_1(U)>0$. Sugerencia: Primero probarlo para compact 3-dimensional subvariedades $M$ $R^3$ (con límite): Utilice la fórmula $\chi(\partial M)= 2\chi(M)$. Luego use el agotamiento y el hecho de que límite conmuta con el functor de % de $\pi_1$y con el homomorfismo de Hurewicz.