Sea u una función medible en [0,1] y definir Tu: $L^p(0,1)\to L^p(0,1)$ de Tu(x) = $\frac{1}{x}\int_0^x u(t)dt\quad\forall x \in [0,1]$. Que $1<p<\infty$. Probar que T es acotada, no compacto. Determinar el radio de la spetral de T y demostrar que en el caso $p=2$ el operador $TT^*-T^*T$ tiene rango $1$. ¿Alguien me puede ayudar? Gracias.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Aquí está la prueba de que $T$ son los siguientes:
Hardy Desigualdad para las Integrales
Aquí está el cálculo exacto de sus normas:
El cómputo de la mejor constante en el clásico Hardy desigualdad
Para encontrar su espectral de la radio, el uso de la fórmula $\text{radius}(T) = \lim\limits_{n\to\infty}\|T^n\|^{1/n}$
Para calcular los $T^n$$T^*$, mira en http://www.math.missouri.edu/~stephen/preprints/hardy.html
Aquí está la compacidad Es $H(f)={1\over x} \int_0^x f(t)dt$ compact?
Probablemente esto se marcarán como un duplicado, pero yo no veo por ninguna parte sprectral radio fue preguntado antes.
Otra manera de encontrar un límite inferior para el espectro de radio es considerar $u(t) = t^{-1/r}$$r>p$. Esto le dará funciones propias.
