¿Qué representa el núcleo de calor en la ecuación del calor $u(x,t)$ ?

Question

Bien, estoy estudiando para mi curso de PDE y estoy convirtiendo transformadas de Fourier. De hecho, estoy usando las transformaciones de Fourier para encontrar una solución a la ecuación del calor en una varilla de longitud infinita.

Después de pasar por la derivación de la transformada de Fourier y aplicándola a la ecuación del calor obtenemos la siguiente solución: $$u(x,t) = a(x) \ast K(x,t)$$ donde K(x,t) es el núcleo de calor así que $$K(x,t) = \frac {1}{ \sqrt {4 \pi kt}}e^{ \frac {-x^2}{4kt}}$$

Bien, así que dada una condición inicial $u(x,0) = F(x)$ no podemos simplemente conectarlo desde cuando $t=0$ el denominador es indefinido. Es en este punto donde me estoy confundiendo

Nuestro profesor nos dijo que para resolver la ecuación del calor usando el IC (condición inicial) tenemos que estudiar lo que hace la convolución. Así que veamos qué pasa cuando tomamos el límite como $t \rightarrow 0$ . $$ \lim_ {t \rightarrow 0}\ \ a \ast K(x,t) = \lim_ {t \rightarrow 0} \int_ {- \infty }^{ \infty } a(x')K(x-x', t) dt $$

Bien, entonces, ¿qué es $x'$ ? ¿De dónde vino? ¿Y por qué nuestro profesor hace esto? Sé con certeza que la integración sobre los límites infinitos significa que el núcleo tiene el área 1 debido al hecho de que es una función Guassiana.

Después de un poco de notas termina con lo siguiente $$ \lim_ {t \rightarrow 0} \int_ {- \infty }^ \infty a(x')K(x-x',t) dx' = a(x)$$ y luego dice que ahora podemos reemplazar el $a(x)$ con $F(x)$ (nuestra condición inicial). Bien, la última línea tiene sentido, pero el límite de la integral no tiene sentido.

¿Pero cómo se relaciona esto con la resolución de la ecuación del calor y, en última instancia, cómo termina esto como la función Dirac-Delta?

Así que si alguien puede explicar con un poco de intuición lo que está pasando. Tal vez un gráfico (tengo un gráfico en mis notas pero estoy confundido al respecto). Gracias

Answer 1

Como $t \to 0$ el núcleo $K(x,t)$ tiende a la función del delta del Dirac $ \delta (x)$ (que no es en realidad una función, sino una llamada distribución o función generalizada ). Puedes reconocer esto al menos informalmente porque el área bajo $K(x,t)$ se mantiene constante, igual a $1$ pero como $t \to 0$ se concentra cada vez más en el punto $x =0$ con un pico cada vez más alto allí.

Formalmente, lo que esta declaración de convergencia significa es que la ecuación que escribiste se mantiene, a saber que $$a(x) = \lim_ {t \to 0} \int_ {- \infty }^{ \infty } a(x') K(x-x',t)\, dx'.$$

(Nótese también que en su primera integral de convolutón, hay un error de imprenta, como lo señaló Pacciu; el $dt$ debería haber $dx'$ .)

Ahora piensa en $K(x,t)$ como $t$ tiende de $0$ a $ \infty $ fluye del ser un pico concentrado en $x = 0$ a un gráfico más y más superficial que se extiende a lo largo de todo el $x$ -eje. Deberían pensar en esto como el calor que fluye de una fuente puntual en el origen y que se extiende lentamente por todo el eje. (Imagine que se dispara un punto en una larga viga de acero con un soplete por un instante, y luego piense en cómo el calor se difundirá a lo largo de la viga).

Ahora cuando tienes condiciones iniciales $a(x)$ esto describe el calor que se aplica en $t = 0$ no sólo en el punto $x = 0$ pero a lo largo de todo el $x$ -de acuerdo con la densidad $a(x)$ . La convolución $a(x)*K(x,t)$ luego describe cómo este calor se ha difundido a través de la línea en el tiempo $t$ como sos440 escribe en su respuesta, es la superposición de la difusión del calor de cada punto $x$ que estaba presente en el momento $t = 0$ .

(Si tomamos $a(x)$ para ser $ \delta (x)$ entonces volveríamos a la situación en la que todo el calor se concentraba inicialmente en un único punto $x = 0$ ; matemáticamente esto corresponde a la fórmula $ \delta (x)*K(x,t) = K(x,t)$ --- es decir, el $ \delta $ la función es la identidad para la convolución).

Añadido en respuesta a una pregunta en los comentarios que figuran a continuación:

Imagina por un momento que tenemos una cierta cantidad de calor $A_i$ inicialmente aplicado en los puntos $x_i$ para $i = 1, \ldots , n$ . Cuando una unidad de calor se coloca en $x =0$ se difunde de acuerdo con $K(x,t)$ . Así que la cantidad $A_i$ de calor en $x_i$ se difunde según $A_i K(x-x_i,t)$ . (Sólo estoy cambiando la variable en $K(x,t)$ para cambiar su centro de $x = 0$ a $x = x_i$ y escalándolo por la cantidad $A_i$ .)

Así que el calor total en un punto $x$ y el tiempo $t$ será $ \sum_ {i = 1}^n A_i K(x-x_i,t)$ . (Sólo estoy sumando el calor que ha llegado al punto $x$ en el tiempo $t$ de cada uno de los puntos $x_1, \ldots , x_n$ .)

Ahora imagina que en vez de tener el calor concentrado en $n$ fuentes puntuales en el tiempo $t$ en su lugar tenemos calor distribuido a lo largo de la línea con densidad $a(x)$ de modo que la cantidad de calor en el (infinitesimalmente) pequeño intervalo $[x',x' + dx']$ es $a(x') dx'$ . Entonces la suma anterior se convierte en la integral $ \int_ {- \infty }^{ \infty } a(x') K(x-x',t) dx'$ es decir. $a(x) * K(x,t)$ .

De ahí la cantidad de calor en un punto $x$ en el tiempo $t$ está exactamente dada por $a(x) * K(x,t)$ como explicó su profesor.

Answer 2

La ecuación del calor describe la dispersión del calor inspeccionando la forma en que la temperatura evoluciona en el tiempo.

Ya sea por intuición física o análisis matemático sobre el comportamiento de la ecuación del calor, encontramos que la ley de la superposición se mantiene. Entonces, cuando pensamos en la masa del punto o en la carga del punto en la física, podemos pensar en algo como un temperatura puntual $T$ concentrado en un punto (en sentido físico, al menos) y ver primero cómo evoluciona en el tiempo. Para cualquier otro caso, ahora pensamos en la distribución de temperatura dada como una agregación de temperaturas puntuales infinitesimales $dT$ y luego simplemente sumar todas las soluciones $du(x, t)$ correspondiente a cada $dT$ . La ley de superposición nos dirá que la suma resultante $u = \int \; du$ es la solución.

Su preocupación por la integral limitante es natural, pero no tiene que preocuparse por ello. Si tienes la intuición correcta, tu cálculo estará justificado si aprendes las teorías adecuadas. Por ejemplo, puedes referirte a la teoría relativa a la medida del delta de Dirac y la correspondiente aproximación a la identidad. De hecho, la teoría de la PDE elíptica y parabólica es una de las áreas más activas y más vastas de las matemáticas, por lo que puede encontrar muchas explicaciones esclarecedoras para la ecuación del calor.