Quiero saber cuando ciertas expresiones de la forma
$ {\Gamma(r_1/m) \Gamma(r_2/m) \ldots \Gamma(r_j/m) \over \Gamma(s_1/m) \Gamma(s_2/m) \ldots \Gamma(s_j/m)} $
son números algebraicos. Estos coeficientes de Γ funciones se producen en el asintótica enumeración de ciertas clases de restricciones a las particiones, pero creo que eso no es relevante. También, En la partición de los problemas que me interesa, es natural tener $r_1 + \ldots + r_j = s_1 + \ldots + s_j$, pero esto no es necesario. Esto parece ocurrir con cierta frecuencia. Por ejemplo,una nota de Albert Nijenhuis (arXiv:0907.1689) muestra que $\Gamma(1/14) \Gamma(9/14) \Gamma(11/14) = 4\pi^{3/2}$; las técnicas del mismo documento muestran que la $\Gamma(3/14) \Gamma(5/14) \Gamma(13/14) = 2\pi^{3/2}$, por lo que el cociente es en realidad 2! Del mismo modo, podemos obtener la identidad
$ {\Gamma(1/8) \Gamma(5/8) \Gamma(6/8) \over \Gamma(2/8) \Gamma(3/8) \Gamma(7/8)} = \sqrt{2}$
mediante la aplicación de la fórmula de duplicación
$ \Gamma(z) \Gamma(z+1/2) = 2^{1-2z} \sqrt{\pi} \Gamma(2z) $
a los dos primeros factores en el numerador y los últimos dos en el denominador. En tratando de probar otras identidades de este tipo, la duplicación de la fórmula, su generalización a la "fórmula de la multiplicación"
$\Gamma(z) \Gamma(z+1/k) \cdots \Gamma(z+(k-1)/k) = (2\pi)^{(k-1)/2} k^{1/2-kz} \Gamma(kz)$
y la reflexión de la fórmula
$ \Gamma(z) \Gamma(1-z) = \pi \csc(\pi z)$
son los más obvios herramientas. Así que esto parece ser un problema de combinatoria, teoría de números; dada una expresión de la forma en la primera muestra de la ecuación, cuando podemos usar la multiplicación y la reflexión fórmulas para reducir a un racional potencia de un número entero de veces un producto de funciones trigonométricas de racional de los múltiplos de pi?
