¿Límite inferior del tamaño del Universo? (WMAP)

Question

La medición del satélite WMAP dio como resultado una geometría plana del universo con una incertidumbre del 0,4% ( http://en.wikipedia.org/wiki/Shape_of_the_universe ).

Si hay una pequeña desviación de la curvatura cero medida, creo que podría dar un límite inferior al tamaño del universo (en caso de curvatura positiva y geometría esférica). ¿Qué tamaño tiene? ¿Cómo podría calcularse?

Answer 1

Desde el Ecuaciones de Friedmann se puede deducir que $$ \dot{R}^2 - \frac{8\pi}{3}G\rho R^2 = -k c^2, $$ donde $\rho$ es la densidad total del universo y $k$ es una constante que determina la forma del universo: $k=-1,0,1$ para un universo abierto, plano y cerrado, respectivamente. Si el universo es una hiperesfera ( $k=1$ ), entonces $R$ puede considerarse como su "radio".

Como el lado derecho es una constante, también es igual a los valores actuales $$ \dot{R}_0^2 - \frac{8\pi}{3}G\rho_0 R_0^2 = -k c^2, $$ o $$ \frac{\dot{R}_0^2}{R_0^2} - \frac{8\pi}{3}G\rho_0 = -\frac{kc^2}{R_0^2}, $$ e introduciendo la constante de Hubble $H_0=\dot{R}_0/R_0$ obtenemos $$ H_0^2 - \frac{8\pi}{3}G\rho_0 = -\frac{kc^2}{R_0^2}. $$ Si $k=0$ tenemos un universo plano, y la densidad correspondiente es igual a la llamada densidad crítica $$ \rho_{c,0} = \frac{3H_0^2}{8\pi G}. $$ Así pues, el caso general puede escribirse de la forma $$ H_0^2\left(1 - \frac{\rho_0}{\rho_{c,0}}\right) = -\frac{kc^2}{R_0^2}. $$ Por último, el factor entre paréntesis se denomina $\Omega_{K,0}$ de modo que $$ H_0^2\,\Omega_{K,0} = -\frac{kc^2}{R_0^2}. $$ En el caso de un universo con curvatura positiva, $k=1$ y $\Omega_{K,0}$ es negativo, por lo que $$ R_0 = \frac{c}{H_0\sqrt{-\Omega_{K,0}}}. $$ El valor WMAP de nueve años para $\Omega_{K,0}$ (véase el último cuadro del página wiki ) $$ \begin{align} \Omega_{K,0} &= -0.037^{+0.044}_{-0.042}\qquad&&\text{(WMAP only)},\\ &= - 0.0027^{+0.0039}_{-0.0038}\qquad&&\text{(WMAP + other obs.)}, \end{align} $$ y $H_0 = 70\;\text{km}\,\text{s}^{-1}\,\text{Mpc}^{-1}$ . Así que encontramos $$ \begin{align} R_0 &\approx 22.3\;\text{Gpc}\approx 72.7\;\text{billion ly}\qquad&&(\text{for $\Omega_{K,0} = -0.037$}),\\ R_0&\approx 82.5\;\text{Gpc}\approx 269\;\text{billion ly}\qquad&&(\text{for $\Omega_{K,0} = -0.0027$}). \end{align} $$ Esto puede interpretarse como el radio del universo si es una hiperesfera, aunque la topología del universo podría ser más complicada. Los últimos resultados de Plank imponen restricciones aún más estrictas a la curvatura del universo (véase la página 40 de este documento ).