Este ejercicio fue parte de un examen de un segundo curso de álgebra lineal. Estoy estudiando para mi examen, así que estoy tratando de hacer los viejos. Se va como sigue:
Deje $V$ ser un verdadero finito-dimensional espacio vectorial. Deje $S$ $T$ operadores en $V$ tal que $$TS-ST=T$$ a) Prove that for any integer $k \geq 1$ the following equTion holds: $$T^kS-ST^k=kT^k$$ b)Acreditar $T$ es nilpotent (sugerencia: considere el operador lineal $\phi:End(V)\to End(V)$$\phi(H)=TH-HT$)
Me las he arreglado para demostrar la parte a) por inducción, pero estoy completamente atascado con b) porque no comprendo cómo utilizar la pista o cualquier otro hecho. Al principio traté de demostrar que existen no-cero $k$ tal que $T^kS=ST^k$ pero creo que la prueba de b) debe ser independiente de la orden de nilpotence del operador de manera que la prueba no sería una prueba directa y el razonamiento por contradicción me llevó a ninguna parte. No se siente ni hay algunos polinomio de aproximación. Por supuesto, también traté de utilizar la pista y realizó los siguientes cálculos:
$\phi(S)=T$
$\phi^2(H)=T^2H-2THt+HT^2$
$T[\phi(H)]=T^2H-THT=\phi[T(H)]$
(y algunos más que creo son inútiles)
La última igualdad parece ser un hecho importante, pero yo no sé a dónde ir desde aquí. También traté de demostrar que $\phi$ es nilpotent, que no sé si es cierto, pero incluso si fuera cierto no sé cómo se debería usar.
Me siento mal porque he estudiado todo el contenido del programa y he hecho la mayoría de los ejercicios de los conjuntos de problemas, pero con este ejercicio parece que me estoy perdiendo algo importante y no sabes qué es. Cualquier guía de sugerencia será muy apreciada.
