La transformada de Fourier en tres dimensiones se nos va de las manos

Question

Tengo la siguiente integral que deseo calcular, transforma una función de onda de posición cuántica en espacio de momento:

$$\phi(\mathbf p)=\int\frac{\mathrm d^3r}{(2\pi\hbar)^{3/2}}e^{-i\mathbf{p\cdot r}}\psi(\mathbf r)$$ Dónde $\psi(\mathbf r)=e^{-|\mathbf r|/a}/\sqrt{\pi a^3}$ la ecuación de onda para el estado básico del hidrógeno.

Así que pensé en convertirlo primero a coordenadas polares y luego evaluar las integrales, pero resultó ser inesperadamente complicado.

A continuación está mi intento (nota, ya que esto está relacionado con la física, $\theta$ se intercambia con $\varphi$ en coordenadas polares):

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Primero reescribimos la integral en coordenadas polares: $$\phi(r_p, \varphi_p, \theta_p)=\frac{1}{(2a\hbar)^{3/2}\pi^2}\int_0^\pi\int_0^{2\pi}\int_0^\infty e^{-i\mathbf{p\cdot x}/h-r_x/a}\mathrm d r_x\mathrm d\varphi_x \mathrm d\theta_x$$

Donde el producto punto en coordenadas esféricas es: $$\mathbf{p\cdot x}=r_xr_p[\sin\theta_p\sin\theta_x\cos(\varphi_p-\varphi_x)+\cos\theta_p\cos\theta_x]$$

Sustituyendo e integrando, obtenemos: \begin {align*} \phi (r_p, \varphi_p , \theta_p )&= \frac {1}{(2a \hbar )^{3/2} \pi ^2ir_p} \int_0 ^{2 \pi } \int_0 ^ \pi \frac { \mathrm d \theta_x \mathrm d \varphi_x }{ \sin\theta_p\sin\theta_x\cos ( \varphi_p - \varphi_x )+ \cos\theta_p\cos\theta_x } \\ \textrm {Ahora deja: } a &= \sin\theta_p\cos ( \varphi_p - \varphi_x ) \\ b &= \cos\theta_p \\ \phi &= \frac {1}{(2a \hbar )^{3/2} \pi ^2ir_p} \int_0 ^ \pi \frac { \ln ( \sqrt {a^2+b^2}-a)- \ln ( \sqrt {a^2+b^2}+a)}{ \sqrt {a^2+b^2}} \mathrm d \varphi_x\\ \end {align*}

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La segunda integral se evalúa a partir de wolfram alfa. A partir de aquí estoy bastante atascado. La integral final parece bastante desesperante. ¿Hay algún truco para las transformadas de Fourier en el espacio o me he equivocado en alguna parte?

Edición: Creo que he sustituido accidentalmente $2\pi$ en lugar de $\pi$ pero la versión correcta es aún más complicada.

Answer 1

La simetría es tu amiga. Desde $\psi$ es radialmente simétrica, por lo que también lo es $\phi$ . Así que wlog podemos suponer ${\bf p} = p \bf k$ y ${\bf p} . {\bf r} = p r \cos(\theta)$ . Entonces

$$\eqalign{\phi(p {\bf k}) &= \dfrac{1}{(2 a \hbar)^{3/2} \pi^2} \int_0^{2\pi} d\varphi \int_{0}^\infty r^2 \; dr \int_{0}^{\pi} \sin(\theta)\; d\theta\; e^{ip r \cos(\theta)} e^{-r/a}\cr &= \dfrac{1}{\sqrt{2} (a \hbar)^{3/2} \pi} \int_0^\infty r^2\; dr \dfrac{2 \sin(pr)}{pr} e^{-r/a}\cr &= \dfrac{4 a^{3/2} }{\sqrt{2} \hbar^{3/2} \pi (a^2 p^2 + 1)^2}}$$