Una desigualdad que $a_i, b_i$ tal que $\sum_{i=1}^n a_i = \sum_{i=1}^n b_i = 1$

Question

Estoy teniendo el momento más difícil probar esta desigualdad:

Que $n$ ser un número natural y $a_1,a_2,\cdots,a_n$ y $b_1, b_2, ..., b_n$ números no negativos tales que $\sum_{i=1}^n a_i = \sum_{i=1}^n b_i = 1$. Entonces $$\sum_{i=1}^n \sqrt{a_i b_i} \le 1 - \frac{\big(\sum_{i=1}^n |a_i - b_i|\big)^2}{8}.$ $

La prueba debe estar relacionado con la desigualdad de Cauchy-Schwarz, pero no parecen ser capaces de conectar los puntos. ¿Alguna idea?

Answer 1

Me permito escribir $a_j=c_j^2$, $b_j=d_j^2$. Entonces $$ \sum | c_j ^ d_j 2 ^ 2 | = \sum (c_j + d_j) | c_j-d_j | \le \ | c + d\ | _2\ | c-d\ | _2\le 2\ | c-d\ | _2, $$ de CS y $c,d$ son vectores de la unidad en $\ell^2$. Así que el cuadrado de la suma en el lado derecho de la desigualdad es estimado por $4\|c-d\|_2^2=8(1-\langle c,d\rangle)$, como se desee.